Rozwiązania szczególne równań rekurencyjnych

[dathavi]

Wyznacz rozwiązania szczególne następujących równań rekurecnyjnych:

a) \(\displaystyle{ a _{0} = 1, a_{n} = 2a_{n-1} + 3}\); b) \(\displaystyle{ a_{0} = 0, a_{n} = 2a_{n-1} + 5n}\)

Jakby o była postać np \(\displaystyle{ a_{n+2} = \alpha a_{n+1} + \beta a_{n}}\) to nie mam problemu, wiem ze sprowadza się to do równania charakterystycznego, wyznacza pierwiastki, potem A i B w układzie rownań przy pomocy \(\displaystyle{ a_{0} i a_{1}}\) ale w tym zadaniu nie wiem o co chodzi.

Proszę pokazać jak to się robi.

[Premislav]

a) niech \(\displaystyle{ b_{n}=a_{n+1}-a_{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\). Ciąg \(\displaystyle{ (b_{n})}\) jest geometryczny z ilorazem \(\displaystyle{ 2}\). Masz dalej \(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n+1}-a_{n}+a_{n}-a_{n-1}+...+a_{2}-a_{1}+a_{1}-a_{0}+a_{0}=...}\)
b) funkcje tworzące.

[dathavi]

a) pierwszy raz cos takiego na oczy widze i nie mam pojęcia jak to ma mi pomóc w rozwiązaniu tego

b) to jest temat sprzed funkcji tworzących (u mnie na uczelni) i się to robiło w bardziej 'normalny' sposób

[Premislav]

Ukryta treść:    

a) trudno, pomyśl. Ciągi geometryczne to materiał drugiej klasy liceum. Rodząc się, zobaczyłeś świat na oczy pierwszy raz i dałeś radę. Zauważ, że \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_{n}=b_{n}}\) dla takiego \(\displaystyle{ b_{n}}\) jak podałem etc. - zastosuj wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
Rozwijając be:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_{n}x^{n-1}= 2\sum_{n=1}^{ \infty }a_{n-1}x^{n-1}+ 5\sum_{n=1}^{ \infty }nx^{n-1}\\ \text{ oznaczmy} A(x)= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}\\
\frac{1}{x}(A(x)-a_{0})=2A(x)+ \frac{5}{(1-x)^{2}}\\ (1-2x)A(x)=a_{0}+ \frac{5x}{(1-x)^{2}}\\A(x)= \frac{5x}{(1-2x)(1-x)^{2}}= \frac{10}{1-2x}- \frac{5}{1-x}- \frac{5}{(1-x)^{2}}}\)
Rozwiń w szeregi i znajdź wyraz przy n-tej potędze iksa. Wskazówka: dwa pierwsze ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, ostatni to pochodna szeregu geometrycznego.

Zakładamy tu, że \(\displaystyle{ \left| 5x\right| <1}\) etc. - możemy to sobie rozwijać w szeregi, różniczkować wyraz po wyrazie, etc.

A bardziej normalny sposób: \(\displaystyle{ a_{n}=2a_{n-1}+5n=2(2a_{n-2}+5(n-1))+5n...}\) Widzisz pewną prawidłowość? Jak zapiszesz jeszcze tak kilka wyrazów, to zgadniesz łatwo wzór, który możesz udowodnić indukcyjnie.
Sorry Gregory, ale ja nie jestem raczej z Twojej uczelni, jeśli oczekujesz zrobienia tego w jakiś konkretny sposób, to albo podaj co masz przerobione, albo idź do wykładowcy/ćwiczeniowca na konsultacje.

-- 4 lut 2016, o 21:06 --

EDIT: lolololololol, jednak tępota moja niesamowitą jest. Nie zauważyłem "wyznacz rozwiązanie szczególne" - no to przepraszam, ale to pewnie trzeba użyć jakiegoś analogonu metody przewidywań z równań różniczkowych, ale ja nie lubię takich rzeczy, więc nie uczyłem się tego.
Przepraszam za powyższy post, bo nic on nie wniósł. :s

[dathavi]

no k, dzieki juz łapie

edit: przynajpniej pierwsze ;v

[Premislav]

Czyli drugie nie bardzo łapiesz? To chyba nie ma sensu, żebyś się w to zagłębiał, bo proszono o znalezienie rozwiązania szczególnego, więc znajdowanie ogólnego jest zupełnie zbędne, a ja nie umiem czytać ze zrozumieniem. Jak mówiłem, ja nie pamiętam co kiedy przewidywać, ale łatwo to znaleźć w necie:


Końcówka strony oznaczonej jako 21. (a czwarta strona PDF-a) - tam masz początek.

-- 4 lut 2016, o 21:36 --

No a z tym, jakiej postaci jest rozwiązanie odpowiednich równań jednorodnych, to spokojnie sobie poradzisz, bo \(\displaystyle{ a_{n}=2a_{n-1}}\) to jest zależność definiująca pewien ciąg geometryczny (z tego też korzystał ten pomysł z \(\displaystyle{ b_{n}}\)).

[dathavi]

dzieki za linka, jakies konkretne info w końcu :p

[Mariusz M]

Premislav, analogon uzmienniania stałych też istnieje
a jest wygodniejszy jeśli nie znamy jeszcze funkcji tworzących

Swoją drogą to dziwne bo jak ja chodziłem to funkcje tworzące były przed wielomianem
charakterystycznym