Sposoby na rozmieszczenie znaków + - * pomiędzy cyframi.

[chrumek]

Zastanawiałem się na ile sposobów mogę rozmieścić znaki dodawania, mnożenia i odejmowania pomiędzy cyframi zadanej liczby.

Np.

Moja liczba to \(\displaystyle{ 123}\). Zakładam, że rozkładam moją liczbę na trzy cyfry, czyli mam dwa puste miejsca w które mogę wstawiać znaki. Jeżeli się nie pomyliłem, ilość możliwości wynosi \(\displaystyle{ 18}\).

Niestety uwzględniłem w tym rozumowaniu oczywiste powtórzenia, które są w tym przypadku zbędne, tj.

\(\displaystyle{ 1-2-3 = 1-2-3 \newline
1*2*3 = 1*2*3 \newline
1+2+3 = 1+2+3}\)

Tuteż, od mojej liczby możliwości musiałbym odjąć te bezsensowne powtórzenia. Wynikiem byłoby \(\displaystyle{ 18-3}\) możliwości.

Szukam w ogólności wzoru kombinatorycznego, którym mógłbym rozwiązać moją wątpliwość.

b) Co w przypadku, jeżeli jeden ze znaków musiałby się znaleźć pomiędzy cyframi? Np znak odejmowania, czyli niedpuszczalne byłby kombinacje typu:

\(\displaystyle{ 1+2*3}\) lub \(\displaystyle{ 1*2*3}\) itp.

[Dawid963]

W jaki sposób wyszło Ci \(\displaystyle{ 18}\)?

Masz rację, że w przypadku liczby \(\displaystyle{ 123}\) znaki możesz postawić w dwóch miejscach.
Na pierwszym miejscu możesz postawić \(\displaystyle{ 3}\) różne znaki i na drugim miejscu \(\displaystyle{ 3}\) różne znaki.
Co daje \(\displaystyle{ 3*3=9}\).

Np. W przypadku liczby \(\displaystyle{ 1234}\) znaki możesz postawć już na trzech miejscach, więc mając 3 różne znaki sprawa wygląda tak \(\displaystyle{ 1}\)(3 różne znaki)\(\displaystyle{ 2}\)(3 różne znaki)\(\displaystyle{ 3}\)(3 różne znaki)\(\displaystyle{ 4}\)

Co daje nam \(\displaystyle{ 3*3*3=27}\) różnych sposobów rozmieszczenia znaków dodawania, mnożenia i odejmowania między cyframi liczby \(\displaystyle{ 1234}\)

Nad ogólnym wzorem pomyśl sam. Jak coś to pisz.