Znajdź ciąg z funkcji tworzącej

[EnemyPanda]

Znajdź ciąg, którego funkcją tworzącą jest: \(\displaystyle{ f(x) \ = \ \frac{2x}{1-x^2} + x}\) Znam ogólną zasadę, należy próbować sprowadzić to do szeregu geometrycznego ale w tym przypadku nie potrafię tego zrobić.

[a4karo]

A potrafisz sobie poradzić z \(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}}\)?

[EnemyPanda]

Tak, \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{1-x} = \sum_{n = 0 }^{ \infty } x^n \ \Rightarrow a_n = 1}\)

[somas3k]

Trzymaj rozwiązanie moje:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{2x}{1- x^{2} }+x=2x \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n} +x=\sum_{n=0}^{\infty}2 x^{2n+1} +x}\)
Sorki był mały błąd, poprawiam:
Musimy zrobić z 2n+1 jakieś n', czyli:
\(\displaystyle{ n'=2n+1}\)
I sumować teraz zaczynamy od n'=1 czyli wygląda to tak:
\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n'=1}^{\infty} 2 x^{n'} +x=2x+2x^{2}+...+2x^{n'} +x}\)
\(\displaystyle{ f(x)=3x+\sum_{n'=2}^{\infty} 2 x^{n'}}\)

Wiesz już co z tym zrobić?

Apropo, czyżby jutro rano kolokwium w U2?

[a4karo]

No i widzisz: zepsuł mi somas3k zabawę, a Tobie naukę. Następne pytanie byłoby o \(\displaystyle{ \frac{1}{1-x^2}}\)

[EnemyPanda]

Z tego wynika że ciąg ma postać \(\displaystyle{ 0, \ 3, \ 0, \ 2, \ 0, \ 2, \ …}\)?-- 22 sty 2016, o 20:39 --Niestety tak, widzimy się w U2

[somas3k]

spróbuj poradzić sobie z tym: \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{4+x^{2} } +3}\) jak napiszesz już postać jawną ciągu dla tego wyżej

[a4karo]

\(\displaystyle{ f(x)=3x+\sum_{n'=2}^{\infty} 2 x^{n'}}\)

Ten wzór niestety to bzdura: oznacza on \(\displaystyle{ 3x+2x^2+2x^3+2x^4+\dots}\)

[somas3k]

Właśnie przed chwilą do tego doszedłem, w sumie to nie wiem czemu to podstawienie nie działa, bez podstawienia widać ten ciąg ale chciałem jakoś ładniej to pokazać ;/-- 22 sty 2016, o 20:19 --Czyli postać jawna ciągu wygląda tak:
\(\displaystyle{ a_{n}= \begin{cases} a_{0}=0 \\ a_{1}=3 \\ a_{n}=0 \hbox{\ dla n parzystych} \\ a_{n}=2 \hbox{\ dla n nieparzystych} \end{cases}}\)
??

[a4karo]

Stąd wniosek, że \(\displaystyle{ a_n=\left\lfloor \frac{8n+10}{3n+3}\right\rfloor \sin^2(n\tfrac{\pi}{2})}\)

[somas3k]

Aż tak to nie musimy ale dobrze wiedziec jak to wygląda