Proszę o wskazówki jak krok po kroku rozwiązać następujące kongruencje:
a)
\(\displaystyle{ 4x+2\equiv _{15}8-4x}\)
b)
\(\displaystyle{ 2x-5\equiv _{9}5x+4}\)
c)
\(\displaystyle{ \begin{cases}6x-4y\equiv _{7}4\\ -5x+2y\equiv _{7}3\end{cases}}\)
kongruencje, rozwiązanie krok po kroku
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
kongruencje, rozwiązanie krok po kroku
Pierwsza - mamy:
\(\displaystyle{ 8x - 6 \equiv_{15} 0 \\
8x \equiv_{15} 6}\)
Teraz należy znaleźć odwrotność \(\displaystyle{ 8}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{15}}\). Jest nią \(\displaystyle{ 2}\). Wobec tego mnożąc kongruencję stronami przez \(\displaystyle{ 2}\) mamy
\(\displaystyle{ x \equiv_{15} 12}\)
\(\displaystyle{ 8x - 6 \equiv_{15} 0 \\
8x \equiv_{15} 6}\)
Teraz należy znaleźć odwrotność \(\displaystyle{ 8}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{15}}\). Jest nią \(\displaystyle{ 2}\). Wobec tego mnożąc kongruencję stronami przez \(\displaystyle{ 2}\) mamy
\(\displaystyle{ x \equiv_{15} 12}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 6 gru 2015, o 15:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszwa
- Podziękował: 2 razy
kongruencje, rozwiązanie krok po kroku
Jak mam znaleźć odwrotność \(\displaystyle{ 8}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{15}\) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
kongruencje, rozwiązanie krok po kroku
Wykorzystując rozszerzony algorytm Euklidesa. Wiemy, że istnieją liczby \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) takie, że
\(\displaystyle{ 8k+15l = 1,}\)
co oznacza dokładnie tyle, że \(\displaystyle{ k}\) jest odwrotnością \(\displaystyle{ 8}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{15}}\). I właśnie to \(\displaystyle{ k}\) znajdujesz rozszerzonym algorytmem Euklidesa.
\(\displaystyle{ 8k+15l = 1,}\)
co oznacza dokładnie tyle, że \(\displaystyle{ k}\) jest odwrotnością \(\displaystyle{ 8}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{15}}\). I właśnie to \(\displaystyle{ k}\) znajdujesz rozszerzonym algorytmem Euklidesa.