Maksymalizacja współczynnika wielomianowego

[Majeskas]

Pytanie nie jest z kombinatoryki, ale szeroko pojęta matematyka dyskretna wydała mi się najlepszą kategorią.

Zastanawiam się nad zagadnieniem maksymalnego współczynnika wielomianowego przy uogólnieniu dwumianu Newtona. Przykładowo: Dla jakich wartości \(\displaystyle{ 0\le k_1,k_2,k_3\le 12}\), gdzie \(\displaystyle{ k_1+k_2+k_3=12}\), współczynnik \(\displaystyle{ {12 \choose k_1,k_2,k_3} =\frac{12!}{k_1!\cdot k_2!\cdot k_3!}}\) jest największy?
Jedyne, co udało mi się wymyślić, to wyznaczenie 13 kandydatów na ten współczynnik i porównanie ich. Ciekawe, że wynik jest dość zgodny z intuicją: \(\displaystyle{ k_1=k_2=k_3=4}\). Można by się ogólnie spodziewać, że takie współczynniki będą się maksymalizować przy możliwie równomiernym podziale na składniki. Nie widzę jednak narzędzi, którymi można by to sprawnie zbadać. Szczególnie w przypadku ogólnym: \(\displaystyle{ {n \choose k_1,k_2,\ldots,k_m}}\). Czy ktoś ma jakieś wiadomości na temat tego zagadnienia?

[arek1357]

Największy współczynnik jest przy:

\(\displaystyle{ x^4y^4z^4}\)

a w przypadku ogólnym gdy różnica między:

dla każdego:

\(\displaystyle{ i,j:i \neq j.: |k_{i}-k_{j}|=0 \vee 1}\)

[Majeskas]

Bardzo fajnie, ale skąd to wiadomo?

[arek1357]

Hm sam nie wiem ale chyba nauczyłem się tego w szkole i przyjąłem jako prawdę objawioną od mojej pani.
Inaczej tego nie umiem nazwać.

[Majeskas]

Wydaje mi się to dość nietrywialne. To jakaś gruba szkoła musiała być. Nawet o zwykłym dwumianie Newtona niewiele się mówi (jeśli już w ogóle), a co dopiero o wielomianie Newtona i własnościach jego współczynników.

[arek1357]

W sumie tak ale z drobną korektą gruba to była pani nasza "ot fszystkiego"

Ale jak widać Symbol Newtona po rozpisaniu wygląda jak piramida i zawsze widać, że maksymalne wartości są pośrodku, podobnie możesz sobie rozpisywać uogólniony symbol Newtona!

[Majeskas]

OK, ale intuicję to ja miałem, zanim zacząłem cokolwiek liczyć Stwierdzenie, że "mogę sobie rozpisać i zobaczyć" jest dość dalekie od matematycznej ścisłości. Akurat dla zwykłego symbolu Newtona łatwo jest wykazać, że największa wartość współczynnika jest "w środku".

[Premislav]

Ja bym na to nie wpadł, ale możesz spojrzeć .
Za to nie mogę się dogrzebać do rozwiązania wspomnianego ogólniejszego zagadnienia, tj. maksymalizacji \(\displaystyle{ \frac{n!}{ \prod_{i=1}^{m} k_{i}!}}\), gdzie \(\displaystyle{ n=k_{1}+...+k_{m}}\). Ale pewnie nie umiem szukać.

[a4karo]

Uzasadnienie wynika z wypukłości funkcji \(\displaystyle{ \log\Gamma(x)}\). Zachodzi \(\displaystyle{ k!=\Gamma(k+1)}\).

Mamy
\(\displaystyle{ \log (k!l!m!)=\log\Gamma(k+1)+\log\Gamma(m+1)+\log\Gamma(m+1)\geq 3\log\Gamma\left(\frac{k+l+m}{3}+1\right)=3\log 4!}\)

z równością gdy \(\displaystyle{ k=l=m=4}\).

Oczywiście gdy \(\displaystyle{ k+l+m}\) nie dzieli sie na \(\displaystyle{ 3}\), największych wartości należy szukać w pobliżu

Podobnie postępuje się w przypadku większej ilości zmiennych.

[Majeskas]

Wielkie dzięki! Dla trzech składników kombinowałem właśnie w takim kierunku jak w tym linku, ale zabrakło mi prostego pomysłu z porównaniem \(\displaystyle{ (k_1-1)!(k_2+1)!}\) z \(\displaystyle{ k_1!k_2!}\). Czułem natomiast, że dla dowolnego rozbicia sprawa musi wymagać jakichś mocniejszych narzędzi. Bardzo dziękuję, a4karo! Wychodzi na to, że temat powinienem był zamieścić raczej w dziale "Analiza matematyczna" .