Funkcja tworzaca rownan niejednorodnych

[janusz2000]

Witam,
mam zadana taka zaleznosc rekurencyjna:
\(\displaystyle{ a_{n} = 5 a_{n-1} -6a_{n-2} + 6 \cdot 5^{n-2}, a_{0} =0, a_{1} =5}\)

Chce stworzyc z tego f.tworzącą, rozpisuję to w taki sposob:
\(\displaystyle{ f(x) = 0 \cdot x^{0} +5 \cdot x^{1} + \sum_{n=2}^{ \infty } (5 a_{n-1} -6a_{n-2} + 6 \cdot 5^{n-2}) = 5x + \sum_{n=2}^{ \infty } 5 a_{n-1} \cdot x^{n} + \sum_{n=2}^{ \infty } -6 a_{n-2} \cdot x^{n} + \sum_{n=2}^{ \infty } 6 \cdot 5^{n-2} \cdot x^{n} = 5x + 5\sum_{n=1}^{ \infty } a_{n} \cdot x^{n} -6 \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n} \cdot x^{n} + 6\sum_{n=0}^{ \infty } 5^{n} \cdot x^{n} = 5x + 5(0+f(x)) -6f(x) + ???}\)

Jak rozpisac: \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } 5^{n} \cdot x^{n}}\) ?

[arek1357]

\(\displaystyle{ \frac{1}{1-5x}}\)

[Mariusz M]

Suma nieskończonego ciągu geometrycznego
(Dla wyjaśnienia tego co napisał arek1357, )

\(\displaystyle{ a_{n} = 5 a_{n-1} -6a_{n-2} + 6 \cdot 5^{n-2}, a_{0} =0, a_{1} =5\\
f\left( x\right)=\sum_{n=0}^{ \infty }\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=5\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-1}x^{n}} -6\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n}} +6 \sum_{n=2}^{ \infty }{5^{n-2}x^{n}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=5x\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-1}x^{n-1}} -6x^2\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n-2}} +6x^2 \sum_{n=2}^{ \infty }{5^{n-2}x^{n-2}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=5x\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} -6x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} +6x^2 \sum_{n=0}^{ \infty }{5^{n}x^{n}}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-5x-0=5x\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} -0\right) -6x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}+\frac{6x^2}{1-5x}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=5x\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-6x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}+5x+\frac{6x^2}{1-5x}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}\left( 1-5x+6x^2\right)=\frac{-19x^2+5x}{1-5x} \\
f\left( x\right)\left( 1-2x\right)\left( 1-3x\right)=\frac{-19x^2+5x}{1-5x}\\
f\left( x\right)= \frac{-19x^2+5x}{\left( 1-2x\right)\left( 1-3x\right)\left( 1-5x\right) }}\)

[arek1357]

Tak a teraz wyszeregować to radzę wolframem ręcznie to udręka

[Mariusz M]

arek1357, przesadzasz funkcja jest wymierna a pierwiastki mianownika rzeczywiste i jednokrotne więc można w pamięci rozłożyć na sumę sum nieskończonego ciągu geometrycznego

Mnie trochę nie podobało się że nie wyciągnął \(\displaystyle{ x^2}\)
z szeregu reprezentującego część niejednorodną dlatego chciałem policzyć tę funkcję tworzącą

Ja podam do przećwiczenia taki ciąg rekurencyjny

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{78}=25 \\ a_{79}=25.4\\a_{80}=25.7\\a_{n}=a_{n-3}+1 \end{cases}}\)

Do rozwinięcia funkcji tworzącej w szereg proponuję rozłożyć ją na sumę ułamków postaci

\(\displaystyle{ \frac{A_{km}}{\left( 1-\lambda_{m}x\right)^{k} }}\)

a następnie skorzystać ze wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego

W przypadku pierwiastków wielokrotnych mamy do dyspozycji
1) różniczkowanie szeregu geometrycznego
2) wzór dwumianowy Newtona
3) wzór na iloczyn szeregów Cauchyego

Działania na zespolonych proponuję wykonać na postaci trygonometrycznej
Na postaci trygonometrycznej można mnożyć i potęgować (wzór de Moivre)
a argumenty można dosyć łatwo znaleźć

Wzór na iloczyn szeregów Cauchyego
oraz wzór Leibniza na n. pochodną iloczynu może się przydać
gdy będziesz rozwiązywać równania rekurencyjne z wykładniczą funkcją tworzącą

Dobry wybór jeśli chodzi o liniowe równania rekurencyjne

[arek1357]

No masz rację może i nie taka udręka

[a4karo]

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{78}=25 \\ a_{79}=25.4\\a_{80}=25.7\\a_{n}=a_{n-3}+1 \end{cases}}\)

Nie wiem jak Wy, ale ja to robię tak
Niech \(\displaystyle{ b_n=a_n+\alpha n}\). Wtedy \(\displaystyle{ a_n=b_n-\alpha n=a_{n-3}=b_{n-3}-\alpha(n-3)+1}\), czyli
\(\displaystyle{ b_n=b_{n-3}+3\alpha+1}\).
Zatem dla \(\displaystyle{ \alpha=-1/3}\) stwierdzam, że ciag \(\displaystyle{ b_n}\) składa się z trzech przeplecionych ze sobą ciągów stałych. Stąd banalnie wyliczam to, co trzeba.

Oczywiście świetnie jest znać teorię, ale narzędzia warto dobierać proporcjonalnie do wagi problemu.

[Mariusz M]

a4karo, ale rozwiązując z użyciem funkcji tworzącej zrozumiały jest każdy krok metody
poza tym temat jest o funkcji tworzącej
Jeśli chodzi o to podstawienie to tacy jak ja czy Janusz mogą nie wiedzieć skąd się ono wzięło


Ten ciąg wziąłem na podstawie tabeli rozmiarów obuwia