Mamy zbiór 9-elementowy: \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,3,4,6,7,8,9\right\}}\). Ile jest liczb 4-cyfrowych parzystych, mniejszych od \(\displaystyle{ 6742}\), których cyfry się nie powtarzają? Problemem jest to, że wszystkie warunki muszą być spełnione jednocześnie...
Czy mogę policzyć każdy warunek osobno? Otrzymam wtedy trzy zbiory, a odpowiedzią do zadania będzie część wspólna tych trzech zbiorów?
Ile jest liczb?
-
Chewbacca97
- Użytkownik
- Posty: 464
- Rejestracja: 9 lis 2013, o 22:09
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 120 razy
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Ile jest liczb?
Myśl jest słuszna (dokładniej odpowiedzią będzie liczność części wspólnej, ale to pewnie skrót myślowy). Dalej przydałby się wzór włączeń i wyłączeń.
-
Chewbacca97
- Użytkownik
- Posty: 464
- Rejestracja: 9 lis 2013, o 22:09
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 120 razy
Ile jest liczb?
Przyjmuję oznaczenia:
\(\displaystyle{ A}\) - liczby czterocyfrowe parzyste
\(\displaystyle{ B}\) - liczby czterocyfrowe mniejsze od \(\displaystyle{ 6742}\)
\(\displaystyle{ C}\) - liczby czterocyfrowe, których cyfry się nie powtarzają
Wszystkie te liczby utworzone są z 9-elementowego zbioru danego w zadaniu.
Z zasady włączeń i wyłączeń:
\(\displaystyle{ \left| A \cap B \cap C\right| = \left| A \cup B \cup C\right| - \left| A\right| - \left| B\right| - \left| C\right| + \left| A \cap B\right| + \left| A \cap C\right| + \left| B \cap C\right|}\) ?
Rozumiem, że \(\displaystyle{ \left| A \cap B\right|}\) będzie ilością liczb parzystych, mniejszych od \(\displaystyle{ 6742}\) utworzonych ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,3,4,6,7,8,9\right\}}\) ? I analogicznie kolejne części wspólne policzę. Ale czym jest \(\displaystyle{ \left| A \cup B \cup C\right|}\) ?
\(\displaystyle{ A}\) - liczby czterocyfrowe parzyste
\(\displaystyle{ B}\) - liczby czterocyfrowe mniejsze od \(\displaystyle{ 6742}\)
\(\displaystyle{ C}\) - liczby czterocyfrowe, których cyfry się nie powtarzają
Wszystkie te liczby utworzone są z 9-elementowego zbioru danego w zadaniu.
Z zasady włączeń i wyłączeń:
\(\displaystyle{ \left| A \cap B \cap C\right| = \left| A \cup B \cup C\right| - \left| A\right| - \left| B\right| - \left| C\right| + \left| A \cap B\right| + \left| A \cap C\right| + \left| B \cap C\right|}\) ?
Rozumiem, że \(\displaystyle{ \left| A \cap B\right|}\) będzie ilością liczb parzystych, mniejszych od \(\displaystyle{ 6742}\) utworzonych ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,3,4,6,7,8,9\right\}}\) ? I analogicznie kolejne części wspólne policzę. Ale czym jest \(\displaystyle{ \left| A \cup B \cup C\right|}\) ?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Ile jest liczb?
Ojej, nie wiem i myślę, że żaden normalny człowiek bez napisania programu nie wie (no dobra, to żart). W każdym razie liczenie teog nie wygląda na przyjemne.
Ja myślałem o tym, żeby rozważyć wszystkie liczby czterocyfrowe o cyfrach z tego zbioru (tj. bez piątki), które są "złe" i odjąć od liczby wszystkich takich liczb czterocyfrowych, które nie mają piątki w zapisie liczbę tych niepasujących. Niemniej jednak powinienem był to napisać, bo inaczej mogłem tylko wprowadzić w błąd/w niezłą kabałę.
Korzystam tu z praw De Morgana dla zborów czy jakoś tak: \(\displaystyle{ A\cap B \cap C=(A^{c}\cup B^{c} \cup C^{c})^{c}}\), gdzie to dopełnienie (znaczek \(\displaystyle{ ^{c}}\)) brane jest w zbiorze liczb czterocyfrowych, które nie mają w zapisie piątki (takie to łatwo policzyć). No i
\(\displaystyle{ \left| A^{c}\cup B^{c}\cup C^{c}\right|}\) liczyłbym ze wzoru włączeń i wyłączeń. Ale już dwa razy źle odjąłem, więc to nie teraz.
Wprawdzie trochę zgrabniej jest liczyć liczby, które mają różne cyfry, niż te, które mają co najmniej parę równych (tzn. zgrabniej jak zgrabniej - odejmujemy od wszystkich te, które mają różne), ale za to nie trzeba liczyć żadnej takiej dziwnej sumy.
Ja myślałem o tym, żeby rozważyć wszystkie liczby czterocyfrowe o cyfrach z tego zbioru (tj. bez piątki), które są "złe" i odjąć od liczby wszystkich takich liczb czterocyfrowych, które nie mają piątki w zapisie liczbę tych niepasujących. Niemniej jednak powinienem był to napisać, bo inaczej mogłem tylko wprowadzić w błąd/w niezłą kabałę.
Korzystam tu z praw De Morgana dla zborów czy jakoś tak: \(\displaystyle{ A\cap B \cap C=(A^{c}\cup B^{c} \cup C^{c})^{c}}\), gdzie to dopełnienie (znaczek \(\displaystyle{ ^{c}}\)) brane jest w zbiorze liczb czterocyfrowych, które nie mają w zapisie piątki (takie to łatwo policzyć). No i
\(\displaystyle{ \left| A^{c}\cup B^{c}\cup C^{c}\right|}\) liczyłbym ze wzoru włączeń i wyłączeń. Ale już dwa razy źle odjąłem, więc to nie teraz.
Wprawdzie trochę zgrabniej jest liczyć liczby, które mają różne cyfry, niż te, które mają co najmniej parę równych (tzn. zgrabniej jak zgrabniej - odejmujemy od wszystkich te, które mają różne), ale za to nie trzeba liczyć żadnej takiej dziwnej sumy.
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Ile jest liczb?
Metody na to niestety nie ma, trzeba usiąść i mozolnie liczyć. Wsk. policz ile jest liczb spełniających warunki w obrębie ustalonego tysiąca (ta liczba będzie inna w zależności od tego, czy cyfra tysięcy jest parzysta, czy nie). \(\displaystyle{ 6}\) i potraktuj osobno.
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Ile jest liczb?
A poco tak komplikować i korzystać z tej dziwnej metody nie wystarczy sobie wypisać nie będzie tego za dużo znowu:
Mówicie o rzeczach łatwych bardzo trudnym i niezrozumiałym językiem dla przeciętnego zjadacza chleba takiego jak np. jak ja!!!
\(\displaystyle{ 1--0}\)
\(\displaystyle{ 1--2}\)
\(\displaystyle{ 1--4}\)
\(\displaystyle{ 1--6}\)
\(\displaystyle{ 1--8}\)
...................................
jeżeli nieparzysta jest na początku będzie:
\(\displaystyle{ 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 3}\)
\(\displaystyle{ 2--0}\)
\(\displaystyle{ 2--4}\)
\(\displaystyle{ 2--6}\)
\(\displaystyle{ 2--8}\)
....................................
jeżeli parzysta jest na początku będzie:
\(\displaystyle{ 7 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2}\)
No i najwięcej będzie liczenia jeżeli sześć będzie na początku!
ale też do przejścia np:
\(\displaystyle{ 6--0}\)
\(\displaystyle{ 6--2}\)
\(\displaystyle{ 6--4}\)
\(\displaystyle{ 6--8}\)
Mówicie o rzeczach łatwych bardzo trudnym i niezrozumiałym językiem dla przeciętnego zjadacza chleba takiego jak np. jak ja!!!
\(\displaystyle{ 1--0}\)
\(\displaystyle{ 1--2}\)
\(\displaystyle{ 1--4}\)
\(\displaystyle{ 1--6}\)
\(\displaystyle{ 1--8}\)
...................................
jeżeli nieparzysta jest na początku będzie:
\(\displaystyle{ 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 3}\)
\(\displaystyle{ 2--0}\)
\(\displaystyle{ 2--4}\)
\(\displaystyle{ 2--6}\)
\(\displaystyle{ 2--8}\)
....................................
jeżeli parzysta jest na początku będzie:
\(\displaystyle{ 7 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2}\)
No i najwięcej będzie liczenia jeżeli sześć będzie na początku!
ale też do przejścia np:
\(\displaystyle{ 6--0}\)
\(\displaystyle{ 6--2}\)
\(\displaystyle{ 6--4}\)
\(\displaystyle{ 6--8}\)
-
Chewbacca97
- Użytkownik
- Posty: 464
- Rejestracja: 9 lis 2013, o 22:09
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 120 razy
Ile jest liczb?
arek1357, własnie tego sposobu chciałem uniknąć... Niespecjalnie uśmiechało mi się liczenie tego w ten sposób i ciekaw byłem czy teoretycznie można to policzyć przy użyciu rachunku na zbiorach. Jednak chyba nie ma jakiegoś super sposobu na to i trzeba ręcznie, tak jak zaproponowałeś to Ty i pan a4karo.