Witam. Mam pewien problem większość przykładów na rozwiązywanie rekurencji za pomocą czynnika sumacyjnego mi wychodzi, jednakże mam problem z następującym przykładem:
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{n^{2}}{(n-1)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ b_{n}=n}\)
\(\displaystyle{ c_{n}= \frac{n!}{n-1}}\)
Nie mam pojęcia jak zapisać Sn
Napisanie wzoru na Sn. Czynnik sumacyjny.
-
zweite0508
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 2 gru 2015, o 13:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: W-Wa
- Podziękował: 2 razy
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5744
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 525 razy
Napisanie wzoru na Sn. Czynnik sumacyjny.
A gdzie masz tu rekurencję?
Wiedz jedno, że czynnik sumacyjny można porównać do czynnika całkującego jest analogia!
trzeba by to przetłumaczyć z polskiego na nasze co autor miał na myśli!Mam pewien problem większość przykładów na rozwiązywanie rekurencji za pomocą czynnika sumacyjnego mi wychodzi
Wiedz jedno, że czynnik sumacyjny można porównać do czynnika całkującego jest analogia!
-
zweite0508
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 2 gru 2015, o 13:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: W-Wa
- Podziękował: 2 razy
Napisanie wzoru na Sn. Czynnik sumacyjny.
Sorki zapisałem po prostu już wyznaczone an bn i cn przykład wygląda tak:
\(\displaystyle{ t_{1}=4}\)
\(\displaystyle{ \frac{n^{2}}{(n-1)^{2}}t_{n}=nt_{n-1}+ \frac{n!}{n-1}}\)
\(\displaystyle{ t_{1}=4}\)
\(\displaystyle{ \frac{n^{2}}{(n-1)^{2}}t_{n}=nt_{n-1}+ \frac{n!}{n-1}}\)
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5744
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 525 razy
Napisanie wzoru na Sn. Czynnik sumacyjny.
przekształćmy to do postaci:
mnożąc przez\(\displaystyle{ n-1}\) i dzieląc przez\(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ \frac{n}{n-1}t_{n}=(n-1)t_{n-1}+(n-1)!}\)
lub:
\(\displaystyle{ \frac{n+1}{n}t_{n+1}=nt_{n}+n!}\)
i wtedy:
(*) \(\displaystyle{ a_{n+1}= \frac{n+1}{n} ,b_{n+1}=n, c_{n+1}=n!}\)
a czynnik sumacyjny wyniesie:
\(\displaystyle{ s_{n+1}= \frac{a_{n}}{b_{n+1}}s_{n}= \frac{1}{n-1}s_{n}}\)
obie strony (*) mnożysz przez \(\displaystyle{ s_{n+1}}\) i wyjdzie:
\(\displaystyle{ \frac{n+1}{n}t_{n+1}s_{n+1}= \frac{n}{n-1}t_{n}s_{n}+n!s_{n+1}}\)
Teraz podstawiasz za:
\(\displaystyle{ T_{n}=\frac{n}{n-1}t_{n}s_{n}}\)
Równanie się uprości do:
\(\displaystyle{ T_{n+1}=T_{n}+n!s_{n+1}}\)
Sumując obie strony poskraca się i otrzymasz:
\(\displaystyle{ T_{n+1}=T_{2}+ \sum_{i=2}^{n}i!s_{i+1}}\)
zauważ, że:
\(\displaystyle{ s_{n+1}= \frac{s_{n}}{n-1}}\)
\(\displaystyle{ s_{3}= \frac{s_{2}}{1}=s_{2}}\),
można przyjąć, że:
\(\displaystyle{ s_{2}=1=s_{3}}\)
łatwo dalej zauważyć, że:
\(\displaystyle{ s_{4}= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ s_{5}= \frac{1}{2 \cdot 3}}\)
.........................................................
\(\displaystyle{ s_{i+2}= \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot i}= \frac{1}{i!}}\)
\(\displaystyle{ s_{i+1}= \frac{1}{(i-1)!}}\)
ostatecznie:
\(\displaystyle{ T_{n+1}=T_{2}+ \sum_{i=2}^{n}i}\)
\(\displaystyle{ T_{n+1}= \frac{n+1}{n}t_{n+1} \frac{1}{(n-1)!}= \frac{n+1}{n!}t_{n+1}}\)
\(\displaystyle{ t_{n+1}=T_{2} \frac{n!}{n+1}+ \frac{n!}{n+1} \sum_{i=2}^{n}i}\)
\(\displaystyle{ T_{2}=2 \cdot t_{2} \cdot s_{2}=2 \cdot \frac{5}{2} \cdot 1=5}\)
poprawiłem
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ t_{n+1}= \frac{n!}{n+1}\left( \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n+4 \right)}\)
lub ładniej:
\(\displaystyle{ t_{n}= \frac{n!}{2n^2}\left( n^2-n+8\right)}\)
i teraz działa!
mnożąc przez\(\displaystyle{ n-1}\) i dzieląc przez\(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ \frac{n}{n-1}t_{n}=(n-1)t_{n-1}+(n-1)!}\)
lub:
\(\displaystyle{ \frac{n+1}{n}t_{n+1}=nt_{n}+n!}\)
i wtedy:
(*) \(\displaystyle{ a_{n+1}= \frac{n+1}{n} ,b_{n+1}=n, c_{n+1}=n!}\)
a czynnik sumacyjny wyniesie:
\(\displaystyle{ s_{n+1}= \frac{a_{n}}{b_{n+1}}s_{n}= \frac{1}{n-1}s_{n}}\)
obie strony (*) mnożysz przez \(\displaystyle{ s_{n+1}}\) i wyjdzie:
\(\displaystyle{ \frac{n+1}{n}t_{n+1}s_{n+1}= \frac{n}{n-1}t_{n}s_{n}+n!s_{n+1}}\)
Teraz podstawiasz za:
\(\displaystyle{ T_{n}=\frac{n}{n-1}t_{n}s_{n}}\)
Równanie się uprości do:
\(\displaystyle{ T_{n+1}=T_{n}+n!s_{n+1}}\)
Sumując obie strony poskraca się i otrzymasz:
\(\displaystyle{ T_{n+1}=T_{2}+ \sum_{i=2}^{n}i!s_{i+1}}\)
zauważ, że:
\(\displaystyle{ s_{n+1}= \frac{s_{n}}{n-1}}\)
\(\displaystyle{ s_{3}= \frac{s_{2}}{1}=s_{2}}\),
można przyjąć, że:
\(\displaystyle{ s_{2}=1=s_{3}}\)
łatwo dalej zauważyć, że:
\(\displaystyle{ s_{4}= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ s_{5}= \frac{1}{2 \cdot 3}}\)
.........................................................
\(\displaystyle{ s_{i+2}= \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot i}= \frac{1}{i!}}\)
\(\displaystyle{ s_{i+1}= \frac{1}{(i-1)!}}\)
ostatecznie:
\(\displaystyle{ T_{n+1}=T_{2}+ \sum_{i=2}^{n}i}\)
\(\displaystyle{ T_{n+1}= \frac{n+1}{n}t_{n+1} \frac{1}{(n-1)!}= \frac{n+1}{n!}t_{n+1}}\)
\(\displaystyle{ t_{n+1}=T_{2} \frac{n!}{n+1}+ \frac{n!}{n+1} \sum_{i=2}^{n}i}\)
\(\displaystyle{ T_{2}=2 \cdot t_{2} \cdot s_{2}=2 \cdot \frac{5}{2} \cdot 1=5}\)
poprawiłem
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ t_{n+1}= \frac{n!}{n+1}\left( \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n+4 \right)}\)
lub ładniej:
\(\displaystyle{ t_{n}= \frac{n!}{2n^2}\left( n^2-n+8\right)}\)
i teraz działa!