Rekurencje liniowe
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 6 gru 2015, o 15:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszwa
- Podziękował: 2 razy
Rekurencje liniowe
Mam problem z rozwiązaniem następujących rekurencji liniowych:
a) \(\displaystyle{ S_{n+1}=2S_{n}+3S_{n-1}}\)
b) \(\displaystyle{ S_{n+1}=-2S_{n}-S _{n-1}, S_{0}=1, S_{1}=-3}\)
c) \(\displaystyle{ S_{n+1= 3S_{n}-2S _{n-1}+ 2^{n}}\)
Nie wiem od czego mam zacząć. Za wszystkie odpowiedzi z góry dziękuję.
a) \(\displaystyle{ S_{n+1}=2S_{n}+3S_{n-1}}\)
b) \(\displaystyle{ S_{n+1}=-2S_{n}-S _{n-1}, S_{0}=1, S_{1}=-3}\)
c) \(\displaystyle{ S_{n+1= 3S_{n}-2S _{n-1}+ 2^{n}}\)
Nie wiem od czego mam zacząć. Za wszystkie odpowiedzi z góry dziękuję.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rekurencje liniowe
Zdefiniuj sobie funkcję dla której współczynniki rozwinięcia w szereg potęgowy
będą kolejnymi wyrazami twojego ciągu
\(\displaystyle{ S_{n+1}= 3S_{n}-2S _{n-1}+ 2^{n}\\
S_{n}=3S_{n-1}-2S_{n-2}+2^{n-1}\\
G\left( x\right)=\sum_{n=0}^{ \infty }{S_{n}x^{n}} \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}=3\sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n-1}x^{n}}-2 \sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n-2}x^{n}}+\frac{1}{2} \sum_{n=2}^{ \infty }{2^{n}x^{n}} \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}=3x\sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n-1}x^{n-1}}-2x^2\sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n-2}x^{n-2}}+ \frac{2x^2}{1-2x} \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}=3x\sum_{n=1}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}-2x^2\sum_{n=1}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}+\frac{2x^2}{1-2x}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}-S_{0}-S_{1}x=3x\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}-S_{0}\right)-2x^2\sum_{n=1}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}+\frac{2x^2}{1-2x}\\
G\left( x\right)-S_{0}-S_{1}x=3x\left( G\left( x\right)-S_{0} \right)-2x^2G\left( x\right) +\frac{2x^2}{1-2x}\\
G\left( x\right)-S_{0}-S_{1}x=3xG\left( x\right)-3xS_{0} -2x^2G\left( x\right) +\frac{2x^2}{1-2x}\\
G\left( x\right)-3xG\left( x\right)+2x^2G\left( x\right)=S_{0}+\left( S_{1}-3S_{0}\right)x+\frac{2x^2}{1-2x}\\
G\left( x\right)\left( 1-3x+2x^2\right)= \frac{2x^2+\left( S_{0}+\left( S_{1}-3S_{0}\right)x\right) \left( 1-2x\right) }{1-2x}\\
G\left( x\right)\left( 1-2x\right)\left( 1-x\right) = \frac{2x^2+\left( S_{0}+\left( S_{1}-3S_{0}\right)x\right) \left( 1-2x\right) }{1-2x}\\
G\left( x\right)=\frac{S_{0}-2S_{0}x+\left( S_{1}-3S_{0}\right)x-2\left( S_{1}-3S_{0}\right)x^2 +2x^2 }{\left( 1-2x\right)^2\left( 1-x\right) }\\
G\left( x\right)=\frac{2\left( 1-S_{1}+3S_{0}\right)x^2+\left( S_{1}-5S_{0}\right)x+S_{0} }{\left( 1-2x\right)^2\left( 1-x\right) } \\
G\left( x\right)= \frac{A}{1-2x}+\frac{B}{\left( 1-2x\right)^2 }+\frac{C}{1-x}}\)
będą kolejnymi wyrazami twojego ciągu
\(\displaystyle{ S_{n+1}= 3S_{n}-2S _{n-1}+ 2^{n}\\
S_{n}=3S_{n-1}-2S_{n-2}+2^{n-1}\\
G\left( x\right)=\sum_{n=0}^{ \infty }{S_{n}x^{n}} \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}=3\sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n-1}x^{n}}-2 \sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n-2}x^{n}}+\frac{1}{2} \sum_{n=2}^{ \infty }{2^{n}x^{n}} \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}=3x\sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n-1}x^{n-1}}-2x^2\sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n-2}x^{n-2}}+ \frac{2x^2}{1-2x} \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}=3x\sum_{n=1}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}-2x^2\sum_{n=1}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}+\frac{2x^2}{1-2x}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}-S_{0}-S_{1}x=3x\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}-S_{0}\right)-2x^2\sum_{n=1}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}+\frac{2x^2}{1-2x}\\
G\left( x\right)-S_{0}-S_{1}x=3x\left( G\left( x\right)-S_{0} \right)-2x^2G\left( x\right) +\frac{2x^2}{1-2x}\\
G\left( x\right)-S_{0}-S_{1}x=3xG\left( x\right)-3xS_{0} -2x^2G\left( x\right) +\frac{2x^2}{1-2x}\\
G\left( x\right)-3xG\left( x\right)+2x^2G\left( x\right)=S_{0}+\left( S_{1}-3S_{0}\right)x+\frac{2x^2}{1-2x}\\
G\left( x\right)\left( 1-3x+2x^2\right)= \frac{2x^2+\left( S_{0}+\left( S_{1}-3S_{0}\right)x\right) \left( 1-2x\right) }{1-2x}\\
G\left( x\right)\left( 1-2x\right)\left( 1-x\right) = \frac{2x^2+\left( S_{0}+\left( S_{1}-3S_{0}\right)x\right) \left( 1-2x\right) }{1-2x}\\
G\left( x\right)=\frac{S_{0}-2S_{0}x+\left( S_{1}-3S_{0}\right)x-2\left( S_{1}-3S_{0}\right)x^2 +2x^2 }{\left( 1-2x\right)^2\left( 1-x\right) }\\
G\left( x\right)=\frac{2\left( 1-S_{1}+3S_{0}\right)x^2+\left( S_{1}-5S_{0}\right)x+S_{0} }{\left( 1-2x\right)^2\left( 1-x\right) } \\
G\left( x\right)= \frac{A}{1-2x}+\frac{B}{\left( 1-2x\right)^2 }+\frac{C}{1-x}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 6 gru 2015, o 15:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszwa
- Podziękował: 2 razy
Rekurencje liniowe
Mam rozwiązanie przykładu a)
Może mi ktoś powiedzieć z kąd się wzięło \(\displaystyle{ S_{0}=1}\), \(\displaystyle{ S_{1}=2}\)
\(\displaystyle{ S_{n+1}= 2S_{n}+3S_{n-1}}\)
\(\displaystyle{ q^{n+1}= 2q^{n}+3q ^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ q^{2}=2q+3}\)
\(\displaystyle{ q^{2}-2q-3=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=16}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=4}\)
\(\displaystyle{ q _{1}=-1}\)
\(\displaystyle{ q_{2}=3}\)
\(\displaystyle{ S_{n}= C_{1} \cdot(-1) ^{n}+ C_{2} \cdot 3^{n}}\)
\(\displaystyle{ S_{0}=1}\)
\(\displaystyle{ S_{1}=2}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}1=C _{1} \cdot (-1)^{0} + C_{2} \cdot 3^{0} } \\ 2= C_{1} \cdot (-1)^{1}+ C_{2} \cdot 3^{1} \end{cases}}\)
Może mi ktoś powiedzieć z kąd się wzięło \(\displaystyle{ S_{0}=1}\), \(\displaystyle{ S_{1}=2}\)
\(\displaystyle{ S_{n+1}= 2S_{n}+3S_{n-1}}\)
\(\displaystyle{ q^{n+1}= 2q^{n}+3q ^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ q^{2}=2q+3}\)
\(\displaystyle{ q^{2}-2q-3=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=16}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=4}\)
\(\displaystyle{ q _{1}=-1}\)
\(\displaystyle{ q_{2}=3}\)
\(\displaystyle{ S_{n}= C_{1} \cdot(-1) ^{n}+ C_{2} \cdot 3^{n}}\)
\(\displaystyle{ S_{0}=1}\)
\(\displaystyle{ S_{1}=2}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}1=C _{1} \cdot (-1)^{0} + C_{2} \cdot 3^{0} } \\ 2= C_{1} \cdot (-1)^{1}+ C_{2} \cdot 3^{1} \end{cases}}\)
Rekurencje liniowe
Z treści zadania zapewne. Więc albo zła treść albo błędne rozwiązanie maszbolt24 pisze:Mam problem z rozwiązaniem następujących rekurencji liniowych:
b) \(\displaystyle{ S_{n+1}=-2S_{n}-S _{n-1}, S_{0}=1, S_{1}=-3}\)
Nie wiem od czego mam zacząć. Za wszystkie odpowiedzi z góry dziękuję.
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 6 gru 2015, o 15:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszwa
- Podziękował: 2 razy
Rekurencje liniowe
A jak \(\displaystyle{ S_{0}, S_{1}}\) nie są znane, to jak powinno wyglądać rozwiązanie przykładu a)?
Rekurencje liniowe
takbolt24 pisze: \(\displaystyle{ S_{n+1}= 2S_{n}+3S_{n-1}}\)
\(\displaystyle{ q^{n+1}= 2q^{n}+3q ^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ q^{2}=2q+3}\)
\(\displaystyle{ q^{2}-2q-3=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=16}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=4}\)
\(\displaystyle{ q _{1}=-1}\)
\(\displaystyle{ q_{2}=3}\)
\(\displaystyle{ S_{n}= C_{1} \cdot(-1) ^{n}+ C_{2} \cdot 3^{n}}\)
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rekurencje liniowe
Twój sposób jest dość ograniczony poza tym dużo w nim zapamiętywania bez uzasadnienia
W sposobie z mojego wcześniejszego wpisu każdy krok jest zrozumiały .
Wystarczy wstawić funkcję zdefiniowaną w postaci szeregu potęgowego
którego współczynnikami są kolejne wyrazy ciągu i równanie samo się rozwiązuje
Jeżeli funkcja ta okaże się funkcją wymierną to do wydobycia wyrazów ciągu
przydatne będą szeregi geometryczne i ich pochodne
Jeżeli funkcja ta nie będzie funkcją wymierną to przydatne będzie np policzenie pochodnej w zerze
i tutaj może być przydatny wzór Leibniza
jeżeli tylko uda nam się zgadnąć wzór na n. pochodną czynników
\(\displaystyle{ S_{n+1}=-2S_{n}-S _{n-1}, S_{0}=1, S_{1}=-3\\
S_{n}=-2S_{n-1}-S_{n-2},S_{0}=1, S_{1}=-3\\
G\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}=-2\left( \sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n-1}x^{n}}\right) - \left( \sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n-2}x^{n}}\right) \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}=-2x\left( \sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n-1}x^{n-1}}\right) - x^2\left( \sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n-2}x^{n-2}}\right) \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}=-2x\left( \sum_{n=1}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}\right) - x^2\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}\right) \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}-1+3x=-2x\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}-1 \right)-x^2\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{S_{n}x^{n}} \right) \\
G\left( x\right)-1+3x=-2x\left( G\left( x\right)-1 \right)-x^2G\left( x\right)\\
G\left( x\right)-1+3x=-2x G\left( x\right)+2x -x^2G\left( x\right)\\
G\left( x\right)\left( 1+2x+x^2\right)=1-x\\
G\left( x\right)= \frac{1-x}{\left( 1+x\right)^2 }\\
G\left( x\right)= \frac{-1-x+2}{\left( 1+x\right)^2 }\\
G\left( x\right)=-\frac{1}{1+x}+\frac{2}{\left( 1+x\right)^2 }\\}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( -1\right)^nx^n }=\frac{1}{1+x}\\
\frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{\left( -1\right)^nx^n } \right) = \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left( \frac{1}{ 1+x } \right) \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{n\left( -1\right)^nx^{n-1} }=-\frac{1}{\left( 1+x\right)^2 }\\
\sum_{n=1}^{ \infty }{n\left( -1\right)^nx^{n-1} }=-\frac{1}{\left( 1+x\right)^2 }\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+1\right) \left( -1\right)^{n+1}x^{n} }=-\frac{1}{\left( 1+x\right)^2 }\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+1\right) \left( -1\right)^{n}x^{n} }=\frac{1}{\left( 1+x\right)^2 }\\}\)
\(\displaystyle{ G\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{-\left( -1\right)^nx^n }+ \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+1\right)\left( -1\right)^nx^n } \\
S_{n}=-\left( -1\right)^n+2\left( n+1\right)\left( -1\right)^n\\
S_{n}=\left( 2n+1\right)\left( -1\right)^{n}}\)
W sposobie z mojego wcześniejszego wpisu każdy krok jest zrozumiały .
Wystarczy wstawić funkcję zdefiniowaną w postaci szeregu potęgowego
którego współczynnikami są kolejne wyrazy ciągu i równanie samo się rozwiązuje
Jeżeli funkcja ta okaże się funkcją wymierną to do wydobycia wyrazów ciągu
przydatne będą szeregi geometryczne i ich pochodne
Jeżeli funkcja ta nie będzie funkcją wymierną to przydatne będzie np policzenie pochodnej w zerze
i tutaj może być przydatny wzór Leibniza
jeżeli tylko uda nam się zgadnąć wzór na n. pochodną czynników
\(\displaystyle{ S_{n+1}=-2S_{n}-S _{n-1}, S_{0}=1, S_{1}=-3\\
S_{n}=-2S_{n-1}-S_{n-2},S_{0}=1, S_{1}=-3\\
G\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}=-2\left( \sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n-1}x^{n}}\right) - \left( \sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n-2}x^{n}}\right) \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}=-2x\left( \sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n-1}x^{n-1}}\right) - x^2\left( \sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n-2}x^{n-2}}\right) \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}=-2x\left( \sum_{n=1}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}\right) - x^2\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}\right) \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}-1+3x=-2x\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}-1 \right)-x^2\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{S_{n}x^{n}} \right) \\
G\left( x\right)-1+3x=-2x\left( G\left( x\right)-1 \right)-x^2G\left( x\right)\\
G\left( x\right)-1+3x=-2x G\left( x\right)+2x -x^2G\left( x\right)\\
G\left( x\right)\left( 1+2x+x^2\right)=1-x\\
G\left( x\right)= \frac{1-x}{\left( 1+x\right)^2 }\\
G\left( x\right)= \frac{-1-x+2}{\left( 1+x\right)^2 }\\
G\left( x\right)=-\frac{1}{1+x}+\frac{2}{\left( 1+x\right)^2 }\\}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( -1\right)^nx^n }=\frac{1}{1+x}\\
\frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{\left( -1\right)^nx^n } \right) = \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left( \frac{1}{ 1+x } \right) \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{n\left( -1\right)^nx^{n-1} }=-\frac{1}{\left( 1+x\right)^2 }\\
\sum_{n=1}^{ \infty }{n\left( -1\right)^nx^{n-1} }=-\frac{1}{\left( 1+x\right)^2 }\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+1\right) \left( -1\right)^{n+1}x^{n} }=-\frac{1}{\left( 1+x\right)^2 }\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+1\right) \left( -1\right)^{n}x^{n} }=\frac{1}{\left( 1+x\right)^2 }\\}\)
\(\displaystyle{ G\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{-\left( -1\right)^nx^n }+ \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+1\right)\left( -1\right)^nx^n } \\
S_{n}=-\left( -1\right)^n+2\left( n+1\right)\left( -1\right)^n\\
S_{n}=\left( 2n+1\right)\left( -1\right)^{n}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Rekurencje liniowe
W powyższym poście autor próbuje przedstawić wykład "O wyższości Świąt Bożego Narodzenia nad Świętami Wielkiej Nocy" (czy ktos jeszcze pamięta ten cykl Jana Tadeusza Stanisławskiego).
Otóż każda metoda jest dobra, jeżeli prowadzi do oczekiwanych wyników. Jedni wola taką, inni wolą zapamiętać parę prostych wzorów. Niestety, uparte trzymanie się tej jednej jedynej prowadzi do rezultatów komicznych, jak np. rozwiązywanie rekurencji \(\displaystyle{ a_n=-a_{n-1}}\) metodą szeregów potęgowych (można, tylko jest to łapanie się za własny ogon: potrzebujesz wiedzy o ciągu geometrycznym, żeby stworzyć wzór opisujący ciąg geometryczny https://www.matematyka.pl/395260.htm#p5376195)
Otóż każda metoda jest dobra, jeżeli prowadzi do oczekiwanych wyników. Jedni wola taką, inni wolą zapamiętać parę prostych wzorów. Niestety, uparte trzymanie się tej jednej jedynej prowadzi do rezultatów komicznych, jak np. rozwiązywanie rekurencji \(\displaystyle{ a_n=-a_{n-1}}\) metodą szeregów potęgowych (można, tylko jest to łapanie się za własny ogon: potrzebujesz wiedzy o ciągu geometrycznym, żeby stworzyć wzór opisujący ciąg geometryczny https://www.matematyka.pl/395260.htm#p5376195)
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rekurencje liniowe
Tylko że nauka na pamięć zwiększa prawdopodobieństwo że zapomnimy to czego się nauczyliśmy
no i z matematyki robimy przedmiot humanistyczny jak np język obcy
Mógłbyś uzasadnić postać rozwiązania z wielokrotnymi pierwiastkami
albo dlaczego tak a nie inaczej należy przewidywać rozwiązanie szczególne ?
Z tym rozwiązaniem szczególnym to tutaj także działa uzmiennianie stałych,
też rozwiązujemy układ równań tylko zamiast wyznacznika Wrońskiego
mamy wyznacznik Casoratiego a zamiast całkowania mamy sumowanie
no i z matematyki robimy przedmiot humanistyczny jak np język obcy
Mógłbyś uzasadnić postać rozwiązania z wielokrotnymi pierwiastkami
albo dlaczego tak a nie inaczej należy przewidywać rozwiązanie szczególne ?
Z tym rozwiązaniem szczególnym to tutaj także działa uzmiennianie stałych,
też rozwiązujemy układ równań tylko zamiast wyznacznika Wrońskiego
mamy wyznacznik Casoratiego a zamiast całkowania mamy sumowanie
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Rekurencje liniowe
Widziałeś kiedyś książeczkę Matematyka, poradnik encyklopedyczny, Bronsztejna?mariuszm pisze:Tylko że nauka na pamięć zwiększa prawdopodobieństwo że zapomnimy to czego się nauczyliśmy
no i z matematyki robimy przedmiot humanistyczny jak np język obcy
Mógłbyś uzasadnić postać rozwiązania z wielokrotnymi pierwiastkami
albo dlaczego tak a nie inaczej należy przewidywać rozwiązanie szczególne ?
Tam jest całe mnóstwo bardzo przydatnych informacji, których nikt nie uzasadnia: uzasadnieniami zajmowali się uczeni przez kilkaset ostatnich lat. W tej chwili jest to wiedza, której po prostu się używa.
Ktoś opanował wzory, ktoś opanował metodę.
Napisałem tylko tyle, że jedni wolą to, inni co innego i nie nam oceniać co dla kogoś jest łatwiejsze. A w rachunkach z szeregami banalnie łatwo się zamotać...