Równiania rekurencjne niejednorodne

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
jan_biel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 16 lis 2015, o 15:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Równiania rekurencjne niejednorodne

Post autor: jan_biel »

Witam,

Bardzo proszę o pomoc w zrozumieniu w jaki sposób rozwiązuje się następujące równania:

a) \(\displaystyle{ s_{0}=0, s_{n}=2s_{n-1} +7n ^{2}}\)

b) \(\displaystyle{ s_{0}=0, s_{n}=s_{n-1} +7n}\)

c) \(\displaystyle{ s_{0}=1, s_{1}=4, s_{n} + 5s_{n-1} + 6s_{n-2} =3n ^{2}}\)

Wiem jak rozwiązuje się równiania jednorodne, oraz niejednorodne gdy wyrazem wolnym jest np 3 lub \(\displaystyle{ 3 ^{n}}\).

Pytania dotyczące powyższych zadań:

1. W a i b jak znaleźć równanie charakterystyczne? Nie wiem jak, ponieważ nie ma trzeciego wyrazu ciągu (zazwyczaj \(\displaystyle{ s_{n-2}}\) tak jak np w c).

2. Jak sobie poradzić z wyrazem wolnym w takiej postaci, czyli np \(\displaystyle{ 7n ^{2}}\) lub \(\displaystyle{ 7n}\)

Z góry dziękuję za podpowiedzi.
miodzio1988

Równiania rekurencjne niejednorodne

Post autor: miodzio1988 »

1. WTedy wielomiany charakterystyczne są liniowe

2. Metodą przewidywania
jan_biel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 16 lis 2015, o 15:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Równiania rekurencjne niejednorodne

Post autor: jan_biel »

1. Czyli w a) \(\displaystyle{ x ^{2} -2x=0}\),

b) \(\displaystyle{ x ^{2} -x=0}\) ??

2. Tak, tylko co przewidzieć dla takich postaci?

Analogicznie np jak przy \(\displaystyle{ 3^{n}}\) ??

Zakładając że podstawa nie jest miejscem zerowym dla

a) \(\displaystyle{ S^{2}_{n} = A* 7n^{2}}\) ?

b) \(\displaystyle{ S^{2}_{n} = A* 7n}\) ?

c) \(\displaystyle{ S^{2}_{n} = A* 3n^{2}}\) ?
miodzio1988

Równiania rekurencjne niejednorodne

Post autor: miodzio1988 »

WTedy wielomiany charakterystyczne są liniowe
jan_biel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 16 lis 2015, o 15:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Równiania rekurencjne niejednorodne

Post autor: jan_biel »

Przepraszam, czyli a) x-2 =0, b) x-1=0 ?

W 2 chyba też źle napisałem bo wyraz wolny w tych przypadkach nie jest funkcją wykładniczą-- 5 gru 2015, o 21:04 --Byłbym bardzo wdzięczny gdyby ktoś napisał mi wprost jaki będzie \(\displaystyle{ S^{(2)}_{n}}\) dla wyrazu wolnego w postaci \(\displaystyle{ 7n^{2}}\) lub \(\displaystyle{ 7n}\).

Mam przed oczami teoretyczną definicję w jaki sposób metodą przewidywań to obliczyć, ale nie potrafię tego zrobić na przykładzie :/

Dziękuję.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Równiania rekurencjne niejednorodne

Post autor: Mariusz M »

Ile razy jedynka jest pierwiastkiem równania charakterystycznego

Gdybyś skorzystał z funkcji tworzących równanie samo by się rozwiązało
jan_biel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 16 lis 2015, o 15:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Równiania rekurencjne niejednorodne

Post autor: jan_biel »

W a) pierwiastkiem jest 2 wieć 0 razy, w b) pierwiastkiem jest 1 więc raz. Niewiele mi to mówi niestety.

Funkcji tworzących nie mamy w materiale.-- 6 gru 2015, o 00:49 --Doszukałem się rozwiązania, jest taka tabelka o którą mi chodziło.
Po lewej w jakiej postaci jest wyraz wolny, po prawej rozwiązanie szczególne niejednorodne

\(\displaystyle{ C => S _{n} = A}\)

\(\displaystyle{ n => S _{n} = A _{1}n + A _{0}}\)

\(\displaystyle{ n ^{2} => S _{n} = A _{2}n^{2} + A _{1}n + A _{0}}\)

\(\displaystyle{ r ^{n} =>S _{n} = Ar ^{n}}\)

Dzięki
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Równiania rekurencjne niejednorodne

Post autor: Mariusz M »

Wielomian można zapisać jako
\(\displaystyle{ W\left( n\right)=W\left( n\right) \cdot 1^n}\)
Gdybyś miał funkcje tworzące wiedziałbyś dlaczego stopień przewidywanego wielomianu
należy podnieść o krotność jedynki jako pierwiastka równania charakterystycznego

Ja jeszcze funkcje tworzące miałem za to o równaniu charakterystycznym tylko wspomniano
ODPOWIEDZ