Okrągły stół z 2n+1 miejscami

[takanator]

Na ile sposobów można posadzić przy okrągłym stole z 2n+1 miejscami n kobiet i n mężczyzn , tak aby dwie osoby tej samej płci nie siedziały tuż obok siebie?

Na początek chciałem rozparzyć prostszy przypadek gdzie mam 2n osób i 2n miejsc. Moje rozumowanie jest takie, wchodzi pierwsza kobieta która może wybrać miejsce na \(\displaystyle{ 1}\) sposób i przez to "rozcina stół" sprowadzając problem do ciągu gdzie skrajne miejsca muszą zajmować mężczyźni, więc mamy \(\displaystyle{ n}\) mężczyzn i \(\displaystyle{ n-1}\) kobiet i musimy "powsadzać" kobiety między mężczyzn, ich możemy ustawić na \(\displaystyle{ n!}\) sposobów kobiety na \(\displaystyle{ (n-1)!}\) sposobów, kobietę rozcinającą stół możemy wybrać na \(\displaystyle{ n}\) sposobów a dla mężczyzny rozcinającego stół będzie analogiczne czy odpowiedzią będzie \(\displaystyle{ 2 \cdot n \cdot (n! \cdot (n-1)! )}\)?

Gdy teraz rozważymy pełne zadanie mamy jedno dodatkowe miejsce.
1 przypadek. Do poprzedniego rozumowania dochodzi nam jeszcze jeden współczynnik \(\displaystyle{ 2n}\) (miejsce wstawienie pustego krzesła)
2 przypadek. Krzesło wstawiamy między osoby tej samej płci. Tutaj pytanie jak to zrobić?

[arek1357]

Nie wiem czy rozróżniasz miejsca przy okrągłym stole czy nie bo to da różne przypadki,
jeśli nie rozróżniasz to masz problem par małżeńskich lub wrogów przy okrągłym stole czyli:

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}(-1)^i {n \choose i}(2n-i-1)!2^i}\)

przypadek gdy jest o jedno miejsce więcej wolne to zamiast \(\displaystyle{ 2n}\) dajesz po prostu \(\displaystyle{ 2n+1}\)