Dwa zadania

[ronek22]

Witam,
Czy mógłby ktoś sprawdzić?

1. Ile jest możliwych rozwiązań równania
\(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}+x _{3}+x _{4}+x _{5}=407}\)
gdy: \(\displaystyle{ x_{1} \ge 1, x_{2} \ge 3, x_{3} \ge 0,x_{4} \ge 0,x_{5} \ge 0,}\)
No to ja zrobilem cos takiego:
\(\displaystyle{ y_{1}=x_{1}, y_{2}=x_{2}-2, y{3}=x_{3}+1,y{4}=x_{4}+1,y{5}=x_{5}+1}\)
Podstawiajac:
\(\displaystyle{ y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}=408}\)
No ze sposobu szufladkowego biore:
\(\displaystyle{ {n-1\choose k-1} = {407\choose 4}}\)

2. 10 studentów wybrało się do kina, zajmuje tylko 1 rząd, który jest cały wolny i ma 40 miejsc. Na ile sposobów można kupić bilety, tak aby każdy student mial wolne miejsca obok siebie? Studenci są rozróżnialni

Korzystam ze wzoru(wiem jak go wyprowadzic):
\(\displaystyle{ {n-k+1\choose k} => 10!\cdot{31\choose 10}}\)
Mnoże przez 10!, bo mają być rozróżnialni

[jarzabek89]

1) Jest ich nieskończenie wiele.

[arek1357]

Oj mi się wydaje, że pierwsze nie zadziała!
Pierwsze weź z wielomianów a nie ze szufladek!

Co do drugiego ratuje cię rekurencja bo z jakiego wzoru korzystasz i co chcesz wyprowadzać



Czego jest nieskończenie wiele(bo nie kumam) ?


Co do drugiego masz tu rozwiązane zupełnie identyczne:

396450.htm

[jarzabek89]

Gdzie jest napisane, że to mają być liczby naturale?

[arek1357]

Wystarczy obliczyć:

\(\displaystyle{ n}\) - studenci,\(\displaystyle{ k}\) - krzesła

\(\displaystyle{ h(40,10)}\) ze wzoru:

\(\displaystyle{ h(n+1,k)=h(n,k)+h(n-1,k-1)}\)

\(\displaystyle{ h(n,1)=n}\)

\(\displaystyle{ h(4,2)=3 \cdot 2!=6}\)


Nigdzie nie jest napisane, że są to liczby naturalne!,
ale pewnie o takie chodziło autorowi ale choćby nawet to jest raczej źle tak czy siak!

[ronek22]

Co do 2, to tak rozumowalem, ze mam n krzeseł i k studentów, obliczam ile jest wolnych krzeseł n-k.
Teraz wstawiam miedzy te wolne krzesła tych studentow(ktorzy juz siedzą na krześle) i moge ich umiescic na n-k+1 mozliwosci.
Z tego biore finalną kombinacje.

Co do 1, to w sumie nie pamiętam czy było napisane, że należą do naturalnych, no ale inaczej zadanie nie mialoby sensu

[SlotaWoj]

1. Chodzi o rozwiązania całkowitoliczbowe.
   Dobrze, ale nie zasada szufladkowa, tylko zasada bijekcji (liczba rozwiązań = liczba podziałów zbioru n elementowego na k niepustych grup).
2. Dobrze. Również zasada bijekcji (liczba sposobów = liczba podziałów n-k wolnych krzeseł na k+1 grup, przy czym pierwsza lub ostatnia grupa mogą być puste, a pozostałe nie mogą).

[ronek22]

Czyli wyniki mam dobre, tylko innym sposobem należało to zrobić. Czy ten sposób, co użyłem to nie są szufladki?

[SlotaWoj]

Nie inny sposób, ale inne nazewnictwo.
Ten sposób nie ma związku z zasadą szufladkową Dirichleta.