To chyba nie dobry dział, bo dotyczy nieskończonych sum, więc proszę przenieść go, do odpowiedniego działu.
Chcę policzyć metodą sum wielokrotnych pewną sumę. W pewnym momencie się zacinam. O ile jak znam wzór na \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}k\cdot2^k}\) to udaje mi się doliczyć do końca z poprawnym wynikiem. Jednak chciałbym otrzymać te wynik wprost z liczenia sumy (bez pomocniczego "przekształcenia"). Ale chyba tak się nie da?
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}k^22^k=\sum_{k=1}^{n}k\cdot k 2^k = \sum_{k=1}^{n}k\sum_{j=1}^{k}2^k=\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{k}2^k=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{k}\sum_{i=1}^{k}2^k=\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=j}^{n}\sum_{i=1}^{k}2^k}\)
I co dalej?
O ile robiąc tak
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}\sum_{k=j}^{n}\sum_{i=1}^{k}2^k = \sum_{j=1}^{n}\sum_{k=j}^{n}k2^k}\)
mamy powiedzmy łatwo, po pewnych przekształceniach potem. Tylko, że na tym etapie korzystam z wyliczonego wzoru na \(\displaystyle{ k2^k}\) (też z sum podwójnych lub inną metodą). Po prostu ciekawi mnie, czy można bez pomocniczego obliczenia \(\displaystyle{ k2^k}\), pociągnąć sumę potrójną tak aby dojść do wyniku.
Suma potrójna
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Suma potrójna
Spróbujmy to zacząć:
Weźmy sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}k(k-1)x^{k-2}= \sum_{k=2}^{n}(kx^{k-1})' =(\sum_{k=2}^{n}kx^{k-1})'}\)
z drugiej strony:
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}k(k-1)x^{k-2}= \sum_{k=2}^{n}k^2x^{k-2}- \sum_{k=2}^{n}kx^{k-2}= \frac{1}{x^2}\sum_{k=2}^{n}k^2x^{k}- \frac{1}{x^2}\sum_{k=2}^{n}kx^{k}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{x^2}\left[\sum_{k=1}^{n}k^2x^{k}+\sum_{k=1}^{n}kx^{k}-2x \right]}\)
Obliczmy teraz:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}= (\sum_{k=1}^{n}x^k)'= \left( \frac{x^{n+1}-x}{x-1}\right)'= \frac{1}{(x-1)^2}+ \frac{nx-n-1}{(x-1)^2}x^n=A}\)
Dalej liczmy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}k(k-1)x^{k-2}=(\sum_{k=2}^{n}kx^{k-1})'=\left( \frac{1}{(x-1)^2}+ \frac{nx-n-1}{(x-1)^2}x^n\right)'=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{2}{(1-x)^3}+ \frac{n(1-x)^2+2(1-x)(nx-n-1)}{(1-x)^4}x^n+ \frac{n(nx-n-1)}{(1-x)^2}x^{n-1}=B}\)
Wynika stąd, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}kx^k=Ax}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}k(k-1)x^{k-2}=\frac{1}{x^2}\left[\sum_{k=1}^{n}k^2x^{k}+\sum_{k=1}^{n}kx^{k}-2x \right]=B}\)
lub przekształcając:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^2x^{k}+\sum_{k=1}^{n}kx^{k}-2x =Bx^2}\)
lub:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^2x^k+Ax-2x=Bx^2}\)
ostatecznie:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^2x^k=Bx^2-Ax+2x}\)
podstawiając za \(\displaystyle{ x=2}\) mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^22^k=4B-2A+4}\)
Otrzymamy podstawiając za\(\displaystyle{ x=2}\)
\(\displaystyle{ A=2^nn-2^n+1}\)
\(\displaystyle{ B=n^22^{n-1}+2^{n+1}-3n2^{n-1}-2}\)
Weźmy sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}k(k-1)x^{k-2}= \sum_{k=2}^{n}(kx^{k-1})' =(\sum_{k=2}^{n}kx^{k-1})'}\)
z drugiej strony:
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}k(k-1)x^{k-2}= \sum_{k=2}^{n}k^2x^{k-2}- \sum_{k=2}^{n}kx^{k-2}= \frac{1}{x^2}\sum_{k=2}^{n}k^2x^{k}- \frac{1}{x^2}\sum_{k=2}^{n}kx^{k}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{x^2}\left[\sum_{k=1}^{n}k^2x^{k}+\sum_{k=1}^{n}kx^{k}-2x \right]}\)
Obliczmy teraz:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}= (\sum_{k=1}^{n}x^k)'= \left( \frac{x^{n+1}-x}{x-1}\right)'= \frac{1}{(x-1)^2}+ \frac{nx-n-1}{(x-1)^2}x^n=A}\)
Dalej liczmy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}k(k-1)x^{k-2}=(\sum_{k=2}^{n}kx^{k-1})'=\left( \frac{1}{(x-1)^2}+ \frac{nx-n-1}{(x-1)^2}x^n\right)'=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{2}{(1-x)^3}+ \frac{n(1-x)^2+2(1-x)(nx-n-1)}{(1-x)^4}x^n+ \frac{n(nx-n-1)}{(1-x)^2}x^{n-1}=B}\)
Wynika stąd, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}kx^k=Ax}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}k(k-1)x^{k-2}=\frac{1}{x^2}\left[\sum_{k=1}^{n}k^2x^{k}+\sum_{k=1}^{n}kx^{k}-2x \right]=B}\)
lub przekształcając:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^2x^{k}+\sum_{k=1}^{n}kx^{k}-2x =Bx^2}\)
lub:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^2x^k+Ax-2x=Bx^2}\)
ostatecznie:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^2x^k=Bx^2-Ax+2x}\)
podstawiając za \(\displaystyle{ x=2}\) mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^22^k=4B-2A+4}\)
Otrzymamy podstawiając za\(\displaystyle{ x=2}\)
\(\displaystyle{ A=2^nn-2^n+1}\)
\(\displaystyle{ B=n^22^{n-1}+2^{n+1}-3n2^{n-1}-2}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1017
- Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 167 razy
- Pomógł: 152 razy
Suma potrójna
Chyba kolega nie popatrzył, co autor miał na myśli. Znam bardzo dużo metod sumowania.
Metoda sum wielokrotnych, zamiana pojedynczej na wielokrotną. Nie metody różniczkowe, zaburzane czy innejezarek pisze: Chcę policzyć metodą sum wielokrotnych pewną sumę. .
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Suma potrójna
Co ostatecznie daje:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^22^k=2^{n+1}(n^2-4n+5)-6}\)
ale i głowy nie dam, że się gdzieś nie pomyliłem!
A co do Twojego sposobu z trzema sumami to jakoś nie widzę tego za bardzo choć może inni zauważą!
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^22^k=2^{n+1}(n^2-4n+5)-6}\)
ale i głowy nie dam, że się gdzieś nie pomyliłem!
A co do Twojego sposobu z trzema sumami to jakoś nie widzę tego za bardzo choć może inni zauważą!