Suma potrójna

[squared]

To chyba nie dobry dział, bo dotyczy nieskończonych sum, więc proszę przenieść go, do odpowiedniego działu.

Chcę policzyć metodą sum wielokrotnych pewną sumę. W pewnym momencie się zacinam. O ile jak znam wzór na \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}k\cdot2^k}\) to udaje mi się doliczyć do końca z poprawnym wynikiem. Jednak chciałbym otrzymać te wynik wprost z liczenia sumy (bez pomocniczego "przekształcenia"). Ale chyba tak się nie da?

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}k^22^k=\sum_{k=1}^{n}k\cdot k 2^k = \sum_{k=1}^{n}k\sum_{j=1}^{k}2^k=\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{k}2^k=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{k}\sum_{i=1}^{k}2^k=\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=j}^{n}\sum_{i=1}^{k}2^k}\)

I co dalej?

O ile robiąc tak
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}\sum_{k=j}^{n}\sum_{i=1}^{k}2^k = \sum_{j=1}^{n}\sum_{k=j}^{n}k2^k}\)

mamy powiedzmy łatwo, po pewnych przekształceniach potem. Tylko, że na tym etapie korzystam z wyliczonego wzoru na \(\displaystyle{ k2^k}\) (też z sum podwójnych lub inną metodą). Po prostu ciekawi mnie, czy można bez pomocniczego obliczenia \(\displaystyle{ k2^k}\), pociągnąć sumę potrójną tak aby dojść do wyniku.

[arek1357]

Spróbujmy to zacząć:

Weźmy sumę:

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}k(k-1)x^{k-2}= \sum_{k=2}^{n}(kx^{k-1})' =(\sum_{k=2}^{n}kx^{k-1})'}\)

z drugiej strony:


\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}k(k-1)x^{k-2}= \sum_{k=2}^{n}k^2x^{k-2}- \sum_{k=2}^{n}kx^{k-2}= \frac{1}{x^2}\sum_{k=2}^{n}k^2x^{k}- \frac{1}{x^2}\sum_{k=2}^{n}kx^{k}=}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{x^2}\left[\sum_{k=1}^{n}k^2x^{k}+\sum_{k=1}^{n}kx^{k}-2x \right]}\)

Obliczmy teraz:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}= (\sum_{k=1}^{n}x^k)'= \left( \frac{x^{n+1}-x}{x-1}\right)'= \frac{1}{(x-1)^2}+ \frac{nx-n-1}{(x-1)^2}x^n=A}\)

Dalej liczmy:

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}k(k-1)x^{k-2}=(\sum_{k=2}^{n}kx^{k-1})'=\left( \frac{1}{(x-1)^2}+ \frac{nx-n-1}{(x-1)^2}x^n\right)'=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{2}{(1-x)^3}+ \frac{n(1-x)^2+2(1-x)(nx-n-1)}{(1-x)^4}x^n+ \frac{n(nx-n-1)}{(1-x)^2}x^{n-1}=B}\)

Wynika stąd, że:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}kx^k=Ax}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}k(k-1)x^{k-2}=\frac{1}{x^2}\left[\sum_{k=1}^{n}k^2x^{k}+\sum_{k=1}^{n}kx^{k}-2x \right]=B}\)

lub przekształcając:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^2x^{k}+\sum_{k=1}^{n}kx^{k}-2x =Bx^2}\)

lub:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^2x^k+Ax-2x=Bx^2}\)

ostatecznie:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^2x^k=Bx^2-Ax+2x}\)

podstawiając za \(\displaystyle{ x=2}\) mamy:


\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^22^k=4B-2A+4}\)


Otrzymamy podstawiając za\(\displaystyle{ x=2}\)

\(\displaystyle{ A=2^nn-2^n+1}\)

\(\displaystyle{ B=n^22^{n-1}+2^{n+1}-3n2^{n-1}-2}\)

[squared]

Chyba kolega nie popatrzył, co autor miał na myśli. Znam bardzo dużo metod sumowania.

Chcę policzyć metodą sum wielokrotnych pewną sumę. .

Metoda sum wielokrotnych, zamiana pojedynczej na wielokrotną. Nie metody różniczkowe, zaburzane czy inne

[arek1357]

Co ostatecznie daje:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^22^k=2^{n+1}(n^2-4n+5)-6}\)

ale i głowy nie dam, że się gdzieś nie pomyliłem!

A co do Twojego sposobu z trzema sumami to jakoś nie widzę tego za bardzo choć może inni zauważą!