Równanie rekurencyjne - sprzeczność

[takanator]

Rozwiąż równanie rekurencyjne: \(\displaystyle{ x_{n+2}-6x_{n+1}+8x_n = -2 \cdot 4^n, \ x_0 = 1 \ x_1 = 6}\) Jak znaleźć rozwiązanie szczególne tego równania metodą przewidywania? Kiedy próbuję wyliczyć współczynniki wychodzi mi że \(\displaystyle{ 0 = -2}\) Co należy zrobić w takim przypadku?

[Qń]

W części niejednorodnej jest \(\displaystyle{ 4^n}\), a czwórka jest pierwiastkiem jednokrotnym równania charakterystycznego. Tak więc rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci \(\displaystyle{ c\cdot n4^n}\)

Q.

[takanator]

A do czego to prowadzi? \(\displaystyle{ cn4^{n+2}-6cn^{n+1}+8cn4^n=-2\cdot 4^n \Rightarrow 4^n(16cn-24cn+8cn) = -2 \cdot 4^n}\) z tego dalej wynika że \(\displaystyle{ 0 = -2}\) Pewnie masz racje ale ja nie do końca jeszcze rozumiem o co tutaj chodzi

[Qń]

\(\displaystyle{ cn4^{n+2}-6cn^{n+1}+8cn4^n=-2\cdot 4^n}\)

Nie tak, tylko:
\(\displaystyle{ c(n+2)4^{n+2} - 6c(n+1)4^{n+1}+8cn4^n= -2\cdot 4^n}\)

Q.

[arek1357]

A nie lepiej to sumować za pomocą szeregów

[takanator]

A rzeczywiście Qń racja, dziękuje za pomoc

[arek1357]

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } x_{n+2}t^n-6 \sum_{n=0}^{ \infty }x_{n+1}t^n +8 \sum_{n=0}^{ \infty } x_{n}t^n=-2 \sum_{n=0}^{ \infty }4^nt^n}\)

lub:

\(\displaystyle{ \frac{1}{t^2} \sum_{n=0}^{ \infty }x_{n+2}t^{n+2}- \frac{6}{t}\sum_{n=0}^{ \infty }x_{n+1}t^{n+1}+8 \sum_{n=0}^{ \infty }x_{n}t^{n}= \frac{2}{4t-1}}\)

i podstawić:

\(\displaystyle{ S=\sum_{n=0}^{ \infty }x_{n}t^{n}}\)

i ciągnąć to dalej

\(\displaystyle{ \frac{1}{t^2}(S-1-6t)- \frac{6}{t}(S-1)+8S=\frac{2}{4t-1}}\)



\(\displaystyle{ S= \frac{2t^2+4t-1}{(4t-1)(8t^2-6t+1)}}\)


lub:

\(\displaystyle{ S= \frac{11}{4} \frac{1}{1-4t}- \frac{1}{4} \frac{1}{(1-4t)^2}- \frac{3}{2} \frac{1}{1-2t}}\)

O ile się gdzieś nie walnąłem!


Po rozwinięciu:

\(\displaystyle{ S= \frac{11}{4} \sum_{n=0}^{ \infty }4^nt^n-\frac{1}{4} \sum_{n=0}^{ \infty }4^n(1+n)t^n-\frac{3}{2} \sum_{n=0}^{ \infty }2^nt^n}\)

Lub prościej:

\(\displaystyle{ S= \sum_{n=0}^{ \infty }\left( \frac{11}{4}4^n- \frac{1}{4}4^n- \frac{1}{4}n4^n- \frac{3}{2}2^n \right)t^n}\)

lub:

\(\displaystyle{ S= \sum_{n=0}^{ \infty }2^n\left( \frac{5}{2}2^n- \frac{1}{4}n2^n- \frac{3}{2}\right)t^n}\)

co daje ostatecznie:

\(\displaystyle{ x_{n}=2^n\left( \frac{5}{2}2^n- \frac{1}{4}n2^n- \frac{3}{2}\right)}\)

lub:

\(\displaystyle{ x_{n}= \frac{10 \cdot 2^n-2^nn-6}{4} \cdot 2^n}\)


\(\displaystyle{ x_{0}=1, x_{1}=6}\)


Co raczej chyba działa!