Sprawdzenie 2 zadan kombinatorycznych

[janusz2000]

Witam, mam takie dwa zadania:
1) Ile jest liczb trzycyfrowych zawierajacych cyfre 1, 2 lub 3?
2) W meczu rugby za przylozenie mozna otrzymac 5 punktow, za przylozenie z podwyzszeniem 7, a za kop na bramkę 3. Na ile roznych sposobow mozna uzyskac n punktow?

Rozwiazalem zadanie 1 na dwa sposoby, ktore wydawaly mi sie rownowazne, ale ich wyniki sa rozne... Bylbym wdzieczny za wsakzanie luk w rozumowaniu:
* sposob:
Obliczam moc zbioru ciagow zawierajacych cyfre 1 lub 2 lub 3:
\(\displaystyle{ p_{1} -}\) wystepuje 1, \(\displaystyle{ p_{2} -}\) wysetepuje 2,\(\displaystyle{ p_{3} -}\) wystepuje 3
\(\displaystyle{ |p_{1} \cup p_{2} \cup p_{3}| = |p_{1}| + |p_{2}| + |p_{3}| - |p_{1} \cap p_{2}| - |p_{1} \cap p_{3}| - |p_{2} \cap p_{3}| + |p_{1} \cap p_{2} \cap p_{3}|}\)
Jest to rownowazne z:
\(\displaystyle{ |p_{1} \cup p_{2} \cup p_{3}| = 3|p_{1}| - 3|p_{1} \cap p_{2}| + |p_{1} \cap p_{2} \cap p_{3}|}\)
Wychodzi mi, ze \(\displaystyle{ |p_{1}| = 225, |p_{1} \cap p_{2}| = 46, |p_{1} \cap p_{2} \cap p_{3}| = 6}\)

Podstawiajac: \(\displaystyle{ |p_{1} \cup p_{2} \cup p_{3}| = 3 \cdot 225 -3 \cdot 46+6 = 543}\)

* 2 sposob:
Z prawa de Morgana zaprzeczenie alternatyw to koniunkcja zaprzeczen, czyli szukam liczb trzycyfrowych ktore nie maja ani 1, ani 2, ani 3:
__ ___ ___
\(\displaystyle{ 6 \cdot 7 \cdot 7 = 294}\)
Od wszystkich mozliwosci odejmuje moj wynik: \(\displaystyle{ 9 \cdot 10 \cdot 10 - 294 = 900-294 = 606}\)

Czemu wyniki sie roznia? Gdzie, i w ktorym sposobie robie blad, a moze w obu?

A jak ugryzc drugie zadanie?

[arek1357]

Pierwsze zadanie masz takie możliwości:

1. Liczba trzycyfrowa zawiera tylko i wyłącznie::1 albo 2 albo 3

może być:

\(\displaystyle{ 1-- =7 \cdot 7}\)

\(\displaystyle{ -1 - =6 \cdot 7}\)

\(\displaystyle{ -- 1 =6 \cdot 7}\)

Oczywiście tam gdzie jedynka może być: dwójka lub trójka, czyli razem:

\(\displaystyle{ 3 \cdot (7 \cdot 7+2 \cdot 6 \cdot 7)=399}\)

Teraz przypadki, że może być li tylko:

\(\displaystyle{ 1,2 \vee 1,3 \vee 2,3}\)

czyli:

\(\displaystyle{ 2,3,- =7 \cdot 2}\)

\(\displaystyle{ 2,-,3 =7 \cdot 2}\)

\(\displaystyle{ -,2,3, =6 \cdot 2}\)

Razem będzie:

\(\displaystyle{ (2 \cdot 7 \cdot 2+6 \cdot 2) \cdot 3=120}\)

Ostatni przypadek, że będzie: \(\displaystyle{ 1,2,3,}\) czyli:

\(\displaystyle{ 3!=6}\)

Oj zapomniałem mogą być podwójne np:

\(\displaystyle{ 1,1-=7}\)

\(\displaystyle{ 1,-,1=7}\)

\(\displaystyle{ -,1,1=6}\) tam gdzie kreska nie ma - \(\displaystyle{ 2 \wedge 3}\)

razem: \(\displaystyle{ 20 \cdot 3=60}\)

oraz typu:

\(\displaystyle{ 1,1,2=3 \vee 1,1,3=3}\)

razem: \(\displaystyle{ 3 \cdot 6=18}\)

oraz wszystkie jednakowe typu:

\(\displaystyle{ 1,1,1=3}\)



Potem to wszystko zsumować...\(\displaystyle{ 399+120+6+60+18+3=606}\)

Twój drugi sposób jasne, że dobry jest w pierwszym liczyłeś coś podwójnie!

Drugi Twój sposób jest w ogóle najlepszy!!!

W sumie niepotrzebnie to robiłem...
Jeden z tych mało wnoszących postów...
Takie młócenie słomy...

W drugim możesz mieć kilka przypadków:

\(\displaystyle{ 3x+5y+7z=n}\)



Generalnie rozwiązania będą to wspólczynniki przy x: takiego wielomianu:

\(\displaystyle{ (1+x^3+x^6+x^9+...) (1+x^5+x^{10}+x^{15}+...)(1+x^7+x^{14}+x^{21}+...)}\)

nie każde n spełni warunki zadania

Przypomina to zadania rozmienienie złotówki na grosze (sposoby)

[janusz2000]

Wielkie dzieki!

Z tym 2 wlasnie tak mniej wiecej myslalem, ze nalezy to zrobic.

Pozdrawiam!