Problem z rozwiązaniem "udowodnij, że" (metody dowodzenia)

[kingszajs]

Witam. Mam mały problem z jednym zadaniem z Matematyki dyskretnej z metod dowodzenia.

Otóż na zajęciach miałem takie zadanie:

Udowodnij, że \(\displaystyle{ \left(x-2\right)^{2} > 4}\) dla wszystkich ujemnych x należącego do R.

Wykonane ono zostało tak:
1. \(\displaystyle{ x<0}\)
2. \(\displaystyle{ x-2<-2}\)
3. \(\displaystyle{ \left(x-2\right)^{2} > 4}\)

Potrafi mi ktoś wyjaśnić skąd ta zmiana znaku równości która nastąpiła między krokiem 2 a 3?

Z kolei na kolokwium rok temu pojawiły się takie dwa przykłady (treść zadania identyczna jak w tym powyżej):
1. \(\displaystyle{ \left(x-2\right)^{3} < 8}\)
2. \(\displaystyle{ \left(2-x\right)^{3} > 8}\)

Nie wiem czy jestem głupi czy jest błąd w równaniu który uniemożliwia udowodnienie.

[Premislav]

Obie strony są ujemne, zatem skoro lewa jest mniejsza od prawej, to wartość bezwzględna lewej (tj. odległość od zera na osi liczbowej) jest większa od wartości bezwzględnej prawej, toteż podnosząc nierówność stronami do kwadratu, zmieniamy zwrot nierówności.

[kingszajs]

Okej, więc jak to będzie w przypadku tych dwóch zadań które pojawiły się na kolokwium? Próbowałem rozwiązać te zadania, jedno wydaje się być rozwiązane prawidłowo, z kolei drugie już nie.

1. \(\displaystyle{ \left(x-2\right)^{3} < 8}\)
2. \(\displaystyle{ x < 0}\)
3. \(\displaystyle{ x - 2 < -2}\) (tu chcę spotęgować do 3, minus x minus x minus = minus)
4. \(\displaystyle{ \left(x-2\right)^{3} < -8}\) (i co z tym fantem?)

W kolejnym zadaniu:

1. \(\displaystyle{ \left(2-x\right)^{3} > 8}\)
2. \(\displaystyle{ x < 0}\)
3. \(\displaystyle{ x - 2 < -2}\) (teraz mnożę przez \(\displaystyle{ (-1)}\) by odwrócić znak)
4. \(\displaystyle{ 2 - x > 2}\) (podnoszę do potęgi 3)
5. \(\displaystyle{ \left(2-x\right)^{3} > 8}\) (tadam, wynik wygląda na prawidłowy)

[piasek101]

1) Jeśli coś jest mniejsze od \(\displaystyle{ (-8)}\) to od ośmiu jest mniejsze też.

[arek1357]

No tak mało oczywiste!