Dwa zadania

[Bestia666]

Zadanie 1
Ze zbioru \(\displaystyle{ \{1, 2, 3, ..., 30\}}\) losujemy ze zwracaniem trzy razy po jednej liczbie. Oblicz, ile jest wyników losowania, w ktrórych:
a) liczba 21 zostanie wylosowana co najmniej raz
b) liczba 21 zostanie wylosowana dokładnie raz

Zadanie 2
Na ile sposobów można rozmieścić \(\displaystyle{ 15}\) osób w pokojach 5-osobowych, jeżeli osoby A i B nie chcą mieszkać w tym samym pokoju?

Moja próba rozwiązania:
Zadanie 1
a) Rozważmy trzy przypadki:
- pierwsza wylosowana liczba jest numerem \(\displaystyle{ 21}\) wtedy dwie pozostałe wartości mogą być dowolne czyli jest \(\displaystyle{ 30 \cdot 30}\) możliwych przypadków
- druga wylosowana liczba jest wynosi \(\displaystyle{ 21}\), wtedy kombinacji dwóch pozostałych jest \(\displaystyle{ 29 \cdot 30}\)
- jak wyżej tylko że już \(\displaystyle{ 29 \cdot 29}\)
Po wymnożeniu i zsumowaniu otrzymujemy \(\displaystyle{ 2611}\) przypadków.

b) analogicznie jak w podpunkcie a tylko że teraz zawsze mnożymy przez \(\displaystyle{ 29}\). Wynik \(\displaystyle{ 2523}\)

Zadanie 2
Najpierw rozważmy ile jest możliwych sposobów rozmieszczeń z pominięciem warunku dotyczącego osób A i B.
\(\displaystyle{ {15\choose 5} \cdot {10\choose 5} = 756756}\)
od tej liczby odejmijmy liczbę "niedozwolonych" kombinacji czyli
\(\displaystyle{ 756756 - {13\choose 3} \cdot {10\choose 5} = 684684}\)

[macik1423]

W pierwszym bym policzył ile jest wszystkich możliwości wylosowania 3 liczb \(\displaystyle{ 30\cdot 30\cdot 30}\) i odjać od tego możliwości w których nie będzie \(\displaystyle{ 21}\) a tych jest \(\displaystyle{ 29^{3}}\) czyli \(\displaystyle{ 30^{3}-29^{3}=2611}\) więc się zgadza. W b) liczba \(\displaystyle{ 21}\) może wystąpić na trzech miejscach więc \(\displaystyle{ 3\cdot 29 \cdot 29=2523}\). Też się zgadza.

[piasek101]

Mam to puszczam.
1) A co z przypadkami : dwie 21; trzy 21.

Lepiej od wszystkich odejmij te bez 21.

2) Nie sprawdzam Twojego.

Wziąłbym A i posłał do pokojów - niech sobie wybierze.

Potem posłałbym B (może z ochroną aby go wyciągnęła z pokoju gdzie jest A).

Potem dolosowałbym do nich po cztery osoby i resztę piątkami posłał do pozostałych.

[Bestia666]

Ok już widzę swój błąd w 2 zadaniu.
Powinienem był przecież liczbę niedozwolonych kombinacji pomnożyć przez 3 (bo założyłem że kolejność pokoi ma znacznie). Czyli wychodzi:
756756 - \(\displaystyle{ {13 \choose 3}}\) * \(\displaystyle{ {10 \choose 5}}\) * 3 = 540540
A sposobem ktróry zaproponował piasek101 wychodzi tyle samo:
\(\displaystyle{ {13 \choose 4}}\) * \(\displaystyle{ {9 \choose 4}}\) * \(\displaystyle{ \frac{3!}{(3-2)!}}\) = 540540

[arek1357]

W drugim masz dobrze