Rozwiazywanie rownania rekurencyjnego - funkcja tworzaca

[janusz2000]

Witam,

mam takie proste rownanie rekurencyjne:
\(\displaystyle{ a_{n} = 5a_{n-1} - 6a_{n-2}}\)

Metoda z wykorzystaniem rownan charakterystycznych dochodze do wzoru:
\(\displaystyle{ a_{n}= - 2^{n} + 3^{n}}\)
Co jest prawidlowym rozwiazaniem tego rownania.

Niestety przy rozwiazywaniu tego rownania funkcjami tworzacymi cos sie nie zgadza...

Dochodze do funkcji tworzacej w takiej postaci:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x}{(x- \frac{1}{3})(x- \frac{1}{2}) }}\)
Przeksztalcam:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{-2}{x- \frac{1}{3} } + \frac{3}{x- \frac{1}{2} } = \frac{6}{1-3x} - \frac{6}{1-2x}}\)
Po wrzuceniu tego w szeregi:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } 6 (3x)^{n} + \sum_{n=0}^{ \infty } -6(2x)^{n}=
6 \sum_{n=0}^{ \infty } [3^{n} - 2^{n}] \cdot x^{n}}\)

Po zrobieniu z tego wzoru ogolnego otrzymuje:
\(\displaystyle{ a_{n}= 6(3^{n}- 2^{n} )}\)
Co zrobic z ta 6? Gdzie robie blad?

Z gory dziekuje

[Qń]

Nie podałeś warunków początkowych, ale wnioskując po rozwiązaniu \(\displaystyle{ 3^n-2^n}\) są to \(\displaystyle{ a_0=0, a_1=1}\). A w takim razie funkcją tworzącą ciągu jest:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{1-5x+6x^2}}\)

Q.

[janusz2000]

Tak, przepraszam, zapomnialem dodac warunkow:
\(\displaystyle{ a_{0} =0, a_{1} = 1, n \ge 2}\)

W takim razie czegos nie rozumiem przy obliczaniu funkcji tworzacej, dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\) dodaje 2 pierwsze wyraz do szeregu:

\(\displaystyle{ 0 \cdot x^{0} + 1 \cdot x^{1} + \sum_{n=2}^{ \infty} (5 a_{n-1} -6 a_{n-2}) x^{n} =
x + 5\sum_{n=2}^{ \infty } a_{n-1}x^{n} -6 \sum_{n=2}^{ \infty } a_{n-2} x^{n}
= x + 5x\sum_{n=1}^{ \infty } a_{n}x^{n} -6 x^{2} \sum_{n=0}^{ \infty } a_{n} x^{n}}\)
Z tego mam:
\(\displaystyle{ f(x) = x + 5x \cdot [f(x) - a_{0} ] -6 x^{2} \cdot f(x)}\)
\(\displaystyle{ f(x) - 5x \cdot f(x) +6 x^{2} \cdot f(x)= x}\)
\(\displaystyle{ f(x)(1 - 5x +6 x^{2} )= x}\)
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x}{1 - 5x +6 x^{2}}}\)

Gdzie ma ten x zginac? U mnie w liczniku zostaje.

[Qń]

Rzeczywiście, masz rację, w liczniku powinien zostać \(\displaystyle{ x}\). W takim razie Twój błąd polegał na złym rozłożeniu mianownika.

Q.

[janusz2000]

Faktycznie, policzylem to raz jeszcze i teraz wszystko sie zgadza.

Dziekuje za pomoc