Funkcje tworzące.

[nesti32]

Mam problem z zadaniem.
Znajdź ciąg, którego funkcja tworzącą jest \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{1+ x^{2} }}\)

Umiem rozpisać problem do momentu:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{1+ x^{2} }=\sum_{n=0}^{\infty} ((-x)^{2})^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \cdot x^{2n}}\)

Nie wiem co dalej robić, jak wyznaczyć z tego wyraz ciągu, bo raczej nie będzie to \(\displaystyle{ -1}\) dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystych i \(\displaystyle{ 1}\) dla parzystych, muszę jakoś pozbyć się \(\displaystyle{ 2}\) w potędze \(\displaystyle{ x}\). Dobrze myślę?

[Kartezjusz]

Minus do parzystej

[nesti32]

Kartezjusz, dlaczego niby minus do parzystej?

[Qń]

\(\displaystyle{ a_n = \begin{cases}
1 \ \textrm{gdy} \ n=4k\\
-1 \ \textrm{gdy} \ n=4k+2\\
0 \ \textrm{gdy} \ n=2k+1
\end{cases}}\)
lub krócej:
\(\displaystyle{ a_n = \frac{i^n+ (-i)^n}{2}}\)

Q.

[nesti32]

Qń, możesz opisać mi jak do tego doszedłeś, wgl nie widzę analogi z tym co napisałeś z tym co ja mam.

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ (-x) ^2=(-1)^2 \cdot x^2}\)

[nesti32]

Kartezjusz, przepraszam, że tak Cię męcze, ale nie widzę tego. Przecież gdy będziemy podkładać kolejne \(\displaystyle{ n}\) to \(\displaystyle{ a_{n}}\) będzie miało wartości \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 1}\) skąd tam \(\displaystyle{ 0}\) i dlaczego powtarzają się co \(\displaystyle{ 4k, 4k+2}\) i \(\displaystyle{ 2k+1}\), a nie \(\displaystyle{ 2k, 2k+1}\)? Mógłbyś wytłumaczyć to "łopatologicznie"? byłbym bardzo wdzięczny.

[Qń]

Wystarczy zapisać naszą funkcję tworzącą bez znaku sumy:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \cdot x^{2n} = 1 \cdot x^0 +0\cdot x^1 +(-1)\cdot x^2 + 0\cdot x^3 + 1 \cdot x^4 + 0\cdot x^5 + \ldots}\)
I oczywistym jest, że przy nieparzystych potęgach jest zero, a przy parzystych zależnie od reszty z dzielenia wykładnika przez \(\displaystyle{ 4}\) albo \(\displaystyle{ 1}\) albo \(\displaystyle{ -1}\).

Q.