Własności wzrou włączeń / wyłączeń

[sszbig]

Mamy ciąg zdarzeń \(\displaystyle{ A_1,A_2,..., A_n}\)
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ s_1 = P(A_1) + ... + P(A_n) \\
s_2 = P(A_1 \cap A_2) + P(A_1 \cap A_3) + ... + P(A_1 \cap A_n) + .... + P(A_{n-1} \cap A_n) \\
s_3 = P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) +.... + P(A_{n-2} \cap A_{n-1} \cap A_n)\\
....\\
s_n = P(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n)}\)

Oczywiście:
\(\displaystyle{ P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n) = s_1 - s_2 + s_3 - ... (-1)^{n+1} s_n\\}\)(wzór włączeń/wyłączeń)

Nieprawdziwe jest twierdzenie, że zawsze
\(\displaystyle{ s_1 qslant s_2 qslant s_3 qslant... qslant s_n\\}\)

Moje brzmi czy prawdziwe jest zawsze poniższe twierdzenie
\(\displaystyle{ s_1 - s_2 qslant s_1 - s_2 + s_3 - s_4 qslant s_1 - s_2 + s_3 - s_4 + s_5 - s_6 qslant .... qslant s_1 - s_2 + s_3 - ... (-1)^{n+1} s_n\\}\)

Albo chociaż czy
\(\displaystyle{ s_1 - s_2 qslant s_1 - s_2 + s_3 - ... (-1)^{n+1} s_n\\}\)

[jovante]

Dla dowolnego ciągu zdarzeń nie.

Jeżeli przyjąć \(\displaystyle{ A_1=\Omega}\) oraz \(\displaystyle{ A_2=\ldots =A_n=\emptyset \hbox { dla } n qslant 2}\), to \(\displaystyle{ s_1=1}\), zaś \(\displaystyle{ s_2=\ldots =s_n=0}\), czyli zamiast \(\displaystyle{ }\)

[sszbig]

Jasne, równośc oczywiście dopuszczalna. Przepraszam moje niedopatrzenie. Już poprawiłem
Pytanie wciąż aktualne, a odpowiedź jak najbardziej pożądana

[jovante]

Moje brzmi czy prawdziwe jest zawsze poniższe twierdzenie
\(\displaystyle{ s_1 - s_2 \leqslant s_1 - s_2 + s_3 - s_4 \leqslant s_1 - s_2 + s_3 - s_4 + s_5 - s_6 \leqslant .... \leqslant s_1 - s_2 + s_3 - ... (-1)^{n+1} s_n\\}\)

Nie jest zawsze prawdziwe.

Nierówność \(\displaystyle{ s_1 - s_2 \leqslant s_1 - s_2 + s_3 - s_4}\) jest równoważna nierówności \(\displaystyle{ 0 \leqslant s_3 - s_4}\).

Przyjmijmy \(\displaystyle{ A_1=\ldots=A_n=\Omega}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ s_3 - s_4={n \choose 3}\left(1-\frac{n-3}{4}\right)}\)
Widać, że dla \(\displaystyle{ n>7}\) powyższe wyrażenie przyjmuje wartości ujemne.

[ Dodano: 13 Lipca 2007, 21:34 ]

[...] czy prawdziwe jest zawsze poniższe twierdzenie [...]
\(\displaystyle{ s_1 - s_2 qslant s_1 - s_2 + s_3 - ... (-1)^{n+1} s_n}\)

Tak, jest zawsze prawdziwe.

Ponieważ \(\displaystyle{ s_1 - s_2 + s_3 - ... (-1)^{n+1} s_n =P ft(\bigcup_{1 qslant i qslant n} A_i \right)}\), to zadanie sprowadza się do sprawdzenia czy dla \(\displaystyle{ n qslant 2}\) prawdziwa jest zawsze nierówność:

\(\displaystyle{ \sum_{1 qslant i qslant n} P(A_i) qslant P ft(\bigcup_{1 qslant i qslant n} A_i \right)+\sum_{1 qslant iqslant n} P(A_i \cap A_j)}\)


Aby to wykazać zastosujmy metodę indukcji matematycznej.


1. Dla \(\displaystyle{ n=2}\) nierówność jest oczywiście prawdziwa, gdyż mamy tożsamość

\(\displaystyle{ P(A_1 \cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1 \cap A_2)}\)


2. Załóżmy, że nierówność jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ n=k}\)

\(\displaystyle{ P(A_1)+ \ldots +P(A_k) qslant P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k)+P(A_1 \cap A_2)+ \ldots +P(A_{k-1} \cap A_k)}\)


Aby udowodnić twierdzenie wystarczy wykazać, że nierówność jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ n=k+1}\)


\(\displaystyle{ P(A_1)+ \ldots +P(A_k)+P(A_{k+1}) qslant P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k \cup A_{k+1})+ P(A_1 \cap A_2)+ \ldots +P(A_{k-1} \cap A_k)+P(A_1 \cap _{k+1}) + \ldots + P(A_k \cap _{k+1})}\)

\(\displaystyle{ P(A_1)+ \ldots +P(A_k)+P(A_{k+1}) qslant P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k) +P(A_{k+1}) - P((A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k) \cap A_{k+1})+ P(A_1 \cap A_2)+ \ldots +P(A_{k-1} \cap A_k)+P(A_1 \cap _{k+1}) + \ldots + P(A_k \cap _{k+1})}\)


czyli wystarczy pokazać, że


\(\displaystyle{ P((A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k) \cap A_{k+1}) qslant P(A_1 \cap A_{k+1}) + \ldots + P(A_k \cap A_{k+1})}\)

\(\displaystyle{ P((A_1 \cap A_{k+1}) \cup \ldots \cup (A_k \cap A_{k+1})) qslant P(A_1 \cap A_{k+1}) + \ldots + P(A_k \cap A_{k+1})}\)


a to wynika z podaddytywności prawdopodobieństwa.

[sszbig]

Dziękuję bardzo za odpowiedź.