Jest prostokąt o wymiarach \(\displaystyle{ a}\) na \(\displaystyle{ b}\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) liczby naturalne, prostokąt podzielono na kwadraty jednostkowe o boku \(\displaystyle{ 1}\).
W każdej kolumnie prostokąta jest dokładnie zamalowane n kwadratów(zamalowania kolumnowe są parami różne), gdzie \(\displaystyle{ n \le b}\)
Ile jest takich istotnie różnych prostokątów z dokładnością do:
a) grupy symetrii prostokąta
b) permutacji wierszy i kolumn
Może przybliżę na kwadracie trzy na trzy:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 7 & 6 & 5 \\ \hline
8 & 9 & 4 \\ \hline
1 & 2 & 3 \\ \hline
\end{tabular}}\)
Wypiszę teraz grupę symetrii tegoż kwadratu obroty i symetrie osiowe:
\(\displaystyle{ (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)}\) - identyczność
\(\displaystyle{ (1357)(2468)(9)}\) - obrót o \(\displaystyle{ 90^o}\)
\(\displaystyle{ (15)(26)(37)(48)(9)}\) - obrót o \(\displaystyle{ 180^o}\)
\(\displaystyle{ (1753)(2864)(9)}\) - obrót o \(\displaystyle{ 270^o}\)
\(\displaystyle{ (13)(48)(57)(2)(9)(6)}\) - symetrie względem prostych:
\(\displaystyle{ (17)(26)(35)(4)(8)(9)}\)
\(\displaystyle{ (24)(15)(68)(3)(7)(9)}\)
\(\displaystyle{ (28)(37)(46)(1)(5)(9)}\)
Grupa G składa się z ośmiu elementów,
Teraz zgodnie z twierdzeniem Polyi tworzymy indeks cykli:
\(\displaystyle{ f'=f_{1}^9+2f_{4}^2f_{1}+f_{2}^4f_{1}+4f_{2}^3f_{1}^3}\)
Ponieważ mamy tylko dwa kolory czarny i biały możemy użyć do i -tego indeksu taki wielomian:
\(\displaystyle{ f_{i}=1+x^i}\)
po podstawieniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ f'=(1+x)^9+2(1+x^4)^2(1+x)+(1+x^2)^4(1+x)+4(1+x^2)^3(1+x)^3}\)
Po wymnożeniu i skróceniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ f' = 8 x^9+24 x^8+64 x^7+128 x^6+184 x^5+184 x^4+128 x^3+64 x^2+24 x+8}\)
Podzielmy to jeszcze przez rząd grupy \(\displaystyle{ G}\):
\(\displaystyle{ f = x^9+3 x^8+8 x^7+16 x^6+23 x^5+23 x^4+16 x^3+8x^2+3x+1}\)
I teraz na podstawie tego wielomianu możemy zliczać wszystko np ile jest kwadratów różnych w których zamalowano na czarno tylko dwa małe kwadraciki - jest \(\displaystyle{ 8}\)
Jeśli chcemy zliczyć wszystkie kolorowania to dodajemy współczynniki przy wielomianie, itd...
Teraz jeżeli chcemy permutować wiersze i kolumny sądzę, że musimy wziąć grupę \(\displaystyle{ H}\), gdzie:
\(\displaystyle{ H=H_{1} \times H_{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ H_{1}}\) - permutacja kolumn, \(\displaystyle{ H_{2}}\) - permutacja wierszy.
I znowu rozpisywać.Na razie to wiem ale problem pojawia się wtedy gdy chcę, żeby w każdej kolumnie
było tyle samo czarnych kwadracików już pal sześć , żeby były parami różne bo grupa by wyeliminowała to(poradziła by sobie)!
\(\displaystyle{ H_{1}:}\)
\(\displaystyle{ (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)}\)
\(\displaystyle{ (12)(89)(67)(3)(4)(5)}\)
\(\displaystyle{ (13)(48)(57)(2)(6)(9)}\)
\(\displaystyle{ (23)(49)(56)(1)(7)(8)}\)
\(\displaystyle{ (123)(894)(765)}\)
\(\displaystyle{ (123)(849)(756)}\)
\(\displaystyle{ H_{2}:}\)
\(\displaystyle{ (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)}\)
\(\displaystyle{ (18)(29)(34)(5)(6)(7)}\)
\(\displaystyle{ (17)(26)(35)(4)(8)(9)}\)
\(\displaystyle{ (78)(69)(45)(1)(2)(3)}\)
\(\displaystyle{ (187)(296)(345)}\)
\(\displaystyle{ (178)(269)(354)}\)
\(\displaystyle{ H=H_{1} \times H_{2}}\)
-- 1 listopada 2015, 16:47 --
Łatwo zauważyć, że:
\(\displaystyle{ H=H_{1} \times H_{2}=H_{2} \times H_{1}}\)
Bo czy permutuję najpierw wiersze a potem kolumny czy na odwrót nie jest to istotne.
Tak czy siak grupa H ma 36 elementów
-- 1 listopada 2015, 16:48 --
I mam problem z ustaleniem, żeby w każdej kolumnie było tyle samo elementów!-- 1 listopada 2015, 16:55 --Czarnych