Co oznacza zapis w klamrach?

[urchin]

Co oznacza taki zapis: \(\displaystyle{ \left\{^{5}_{2} \right\}}\) ?

[Premislav]

Liczba Stirlinga drugiego rodzaju. Ta konkretna to liczba podziałów zbioru pięcioelementowego na dwa niepuste podzbiory [chyba]. Tu o nich masz:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_Stirlinga

[urchin]

Poczytałem "Liczby Stirlinga II rodzaju", ale nie wiem jak to się oblicza.
Z trójkąta dla n=5 i k=2 wychodzi że
\(\displaystyle{ \left\{ ^{5}_{2}\right\} =15}\)

Jak ten wynik obliczyć matematycznie?

[Premislav]

Choćby z użyciem faktu przeze mnie wspomnianego: chcesz podzielić zbiór pięcioelementowy na dwa niepuste podzbiory. Zauważ, że wtedy wybierając elementy jednego podzbioru, automatycznie przydzielasz też te, które do niego nie trafią, do drugiego. Więc odpowiedź to \(\displaystyle{ {5 \choose 1}+{5 \choose 2}=15}\)

[urchin]

\(\displaystyle{ \frac{5!}{1!(5-1)!} + \frac{5!}{2!(5-2)!}=15}\)

Dzięki za pomoc.

Nadal nie mam pewności
Jaki obliczyć \(\displaystyle{ \left\{^{5}_{3} \right\}=?}\)
Z trójkąta liczbowego wynika że = 25, jak to wyliczyć?
Czy można tak:

\(\displaystyle{ \frac{5!}{1!(5-1)!} + \frac{5!}{2!(5-2)!} + \frac{5!}{3!(5-3)!}=25}\) coś nie tak

Jak obliczyć:
Jaki obliczyć \(\displaystyle{ \left\{^{6}_{2} \right\}=?}\)
Z trójkąta liczb wynika że =31

jak to policzyć?

[Premislav]

Po prostu mój sposób na podzielenie tego zbioru na niepuste był mało ogólny, działa dla podziału na dwa niepuste podzbiory, ale niewiele mówi o tym, co zrobić dla trzech.

Jeżeli liczysz, że będę Ci rozpisywał takie kolejne liczby, to możesz się rozczarować (zresztą jestem słaby z kombinatoryki, więc nie tylko nie chcę, ale i nie potrafiłbym). Może poczytaj sobie o wzorze rekurencyjnym na liczby Stirlinga drugiego rodzaju (jest w zalinkowanym przeze mnie artykuliku), tak będzie najlepiej. Jest tam też wyjaśnione, skąd się bierze ten wzór.

[urchin]

Myślałem że jest jakiś ogólny wzór, nie chciałem Cię urazić.

Pozdrawiam

[arek1357]

A oto i wzór na liczby Stirlinga drugiego rodzaju czyli na ile sposobów rozbić zbiór n elementowy na k
niepustych podzbiorów!
W liczbach Stirlinga pierwszego rodzaju masz zamiast podzbiorów ilość cykli...

\(\displaystyle{ \left\{_k ^n\right\}=S(n,k)= \frac{1}{k!} \sum_{i=1}^{k}(-1)^{k-i} {k \choose i}i^n}\)