Rozwiąż równanie rekurencyjne
-
- Użytkownik
- Posty: 144
- Rejestracja: 13 kwie 2009, o 15:44
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 49 razy
Rozwiąż równanie rekurencyjne
\(\displaystyle{ X_{n+2} + X_{n}=0\\
X_{0}=0\\
x_{1}=1}\)
Co znaczy rozwiąż równanie rekurencyjne?
Znaleźć wzór jawny dla rekurencji korzystając z równania charakterystycznego?
i dwóch wzorów 1)Przy jednym pierwiastku lub 2)Przy dwóch pierwiastkach?
Proszę o pomoc jak rozumieć "Rozwiąż równanie rekurencyjne" i jak to zrobić.
X_{0}=0\\
x_{1}=1}\)
Co znaczy rozwiąż równanie rekurencyjne?
Znaleźć wzór jawny dla rekurencji korzystając z równania charakterystycznego?
i dwóch wzorów 1)Przy jednym pierwiastku lub 2)Przy dwóch pierwiastkach?
Proszę o pomoc jak rozumieć "Rozwiąż równanie rekurencyjne" i jak to zrobić.
-
- Użytkownik
- Posty: 144
- Rejestracja: 13 kwie 2009, o 15:44
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 49 razy
Rozwiąż równanie rekurencyjne
Czy to znaczy znaleźć wzór jawny rekurencji?
Proszę rozpisz to dokładnie.
Proszę rozpisz to dokładnie.
Rozwiąż równanie rekurencyjne
Tak. Co to jest wzór jawny znajdziesz przecież przez google, więc od tego bym zaczął
-
- Użytkownik
- Posty: 144
- Rejestracja: 13 kwie 2009, o 15:44
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 49 razy
Rozwiąż równanie rekurencyjne
Niestety nadal nie wiem jak to rozwiązać.
Znaleźć wzór jawny dla
np. \(\displaystyle{ a_{n}=-2a_{n-1}+3a_{n-2}}\)
wiem
Wyznaczam p i g
Podstawiam do wzoru charakterystycznego
\(\displaystyle{ X ^{2} -pX-q}\)
Obliczam Deltę i pierwiastki
W zależności ile pierwiastków korzystam z jednego z dwóch wzorów, ale w tym zadaniu jest podane
\(\displaystyle{ X_{n+2}+X_{n}=0}\) i co mam z tym zrobić?
Znaleźć wzór jawny dla
np. \(\displaystyle{ a_{n}=-2a_{n-1}+3a_{n-2}}\)
wiem
Wyznaczam p i g
Podstawiam do wzoru charakterystycznego
\(\displaystyle{ X ^{2} -pX-q}\)
Obliczam Deltę i pierwiastki
W zależności ile pierwiastków korzystam z jednego z dwóch wzorów, ale w tym zadaniu jest podane
\(\displaystyle{ X_{n+2}+X_{n}=0}\) i co mam z tym zrobić?
-
- Użytkownik
- Posty: 144
- Rejestracja: 13 kwie 2009, o 15:44
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 49 razy
Rozwiąż równanie rekurencyjne
Proszę opisz jak postępujesz, jaki jest schemat działania.-- 17 paź 2015, o 21:23 --To zadanie jest jakieś inne od postaci: \(\displaystyle{ a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}}\)
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Rozwiąż równanie rekurencyjne
To moje równanie charakterystyczne jest do twego pierwszego postu
a do twego ostatniego postu równanie ma postać:
\(\displaystyle{ r^2=r+1}\)
a do twego ostatniego postu równanie ma postać:
\(\displaystyle{ r^2=r+1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 144
- Rejestracja: 13 kwie 2009, o 15:44
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 49 razy
Rozwiąż równanie rekurencyjne
równanie charakterystyczne z:
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}}\)
podstawiamy odpowienie potęgi za \(\displaystyle{ a_{n},a_{n-1},a_{n-2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ r^2=r^1+r^0}\)
dlatego
\(\displaystyle{ r^2=r+1}\)
ale nie sposób obliczyć pierwiastka Delty
Działania na liczbach zespolonych?
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}}\)
podstawiamy odpowienie potęgi za \(\displaystyle{ a_{n},a_{n-1},a_{n-2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ r^2=r^1+r^0}\)
dlatego
\(\displaystyle{ r^2=r+1}\)
ale nie sposób obliczyć pierwiastka Delty
Działania na liczbach zespolonych?
Ostatnio zmieniony 17 paź 2015, o 22:55 przez urchin, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 1847
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów/Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 378 razy
Rozwiąż równanie rekurencyjne
Dla pierwszego \(\displaystyle{ r_1=i}\) oraz \(\displaystyle{ r_2=-i}\), a to oznacza, że \(\displaystyle{ a_n=C_1 \left( i \right) ^n+C_2 \left( -i \right) ^n}\).
Dalej \(\displaystyle{ a_n=C_1\cdot i \cdot \sin \left( \frac{\pi n}{2} \right) -C_2\cdot i \sin \left( \frac{\pi n}{2} \right)}\),
a stąd widać że \(\displaystyle{ C_1=-\frac{i}{2}}\) a \(\displaystyle{ C_2=\frac{i}{2}}\).
Dalej \(\displaystyle{ a_n=C_1\cdot i \cdot \sin \left( \frac{\pi n}{2} \right) -C_2\cdot i \sin \left( \frac{\pi n}{2} \right)}\),
a stąd widać że \(\displaystyle{ C_1=-\frac{i}{2}}\) a \(\displaystyle{ C_2=\frac{i}{2}}\).
Ostatnio zmieniony 18 paź 2015, o 00:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 144
- Rejestracja: 13 kwie 2009, o 15:44
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 49 razy
Rozwiąż równanie rekurencyjne
Przy dwóch pierwiastkach korzystam ze wzoru:
\(\displaystyle{ a_{n}=C_{1} \cdot \left( X_{1} \right) ^n+C_{2} \cdot \left( X_{2} \right) ^n}\)
a za \(\displaystyle{ \left( i \right) ^n}\) podstawiam \(\displaystyle{ i \cdot \sin \left( \frac{\pi n}{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ \left( -i \right) ^n=-i \cdot \sin \left( \frac{\pi n}{2} \right)}\)
na przekształcenie "potęgi liczby zespolonej" jest taki wzór, taki jak zastosowałeś.
Jak się pozbywasz tego sin i Pi n?
-- 17 paź 2015, o 22:31 --
Dzięki za pomoc
Pozdrawiam
\(\displaystyle{ a_{n}=C_{1} \cdot \left( X_{1} \right) ^n+C_{2} \cdot \left( X_{2} \right) ^n}\)
a za \(\displaystyle{ \left( i \right) ^n}\) podstawiam \(\displaystyle{ i \cdot \sin \left( \frac{\pi n}{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ \left( -i \right) ^n=-i \cdot \sin \left( \frac{\pi n}{2} \right)}\)
na przekształcenie "potęgi liczby zespolonej" jest taki wzór, taki jak zastosowałeś.
Jak się pozbywasz tego sin i Pi n?
-- 17 paź 2015, o 22:31 --
Dzięki za pomoc
Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 18 paź 2015, o 00:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skaluj nawiasy. Symbol mnożenia to \cdot. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Skaluj nawiasy. Symbol mnożenia to \cdot. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozwiąż równanie rekurencyjne
Funkcje tworzące byłyby wygodniejsze
Funkcje trygonometryczne dostajemy po zastosowaniu wzoru de Moivre
\(\displaystyle{ a_{n}=-2a_{n-1}+3a_{n-2}\\
A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=\sum_{n=2}^{ \infty }{-2a_{n-1}x^{n}}+\sum_{n=2}^{ \infty }{3a_{n-2}x^{n}} \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=-2x\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-1}x^{n-1}}+3x^2\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n-2}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=-2x\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}+3x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-a_{0}-a_{1}x=-2x\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-a_{0} \right) +3x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}\\
A\left( x\right)-a_{0}-a_{1}x=-2x\left( A\left( x\right)-a_{0} \right)+3x^2A\left( x\right)\\
A\left( x\right)\left( 1+2x-3x^2\right)=a_{0}+\left(a_{1}+2a_{0}\right)x\\
A\left( x\right)=\frac{a_{0}+\left(a_{1}+2a_{0}\right)x}{1+2x-3x^2}\\
A\left( x\right)=\frac{a_{0}+\left(a_{1}+2a_{0}\right)x}{\left(1+3x\right)\left(1-x\right)}\\
\frac{p}{1+3x}+\frac{q}{1-x}=\frac{a_{0}+\left(a_{1}+2a_{0}\right)x}{\left(1+3x\right)\left(1-x\right)}\\
p\left(1-x\right)+q\left( 1+3x\right)=a_{0}+\left(a_{1}+2a_{0}\right)x\\
\begin{cases} p+q=a_{0} \\ -p+3q=a_{1}+2a_{0} \end{cases}\\
\begin{cases} p=a_{0}-q \\ 4q=a_{1}+3a_{0} \end{cases}\\
\begin{cases} p=\frac{1}{4}\left(-a_{1}+a_{0}\right) \\ q=\frac{1}{4}\left(a_{1}+3a_{0} \right) \end{cases} \\}\)
\(\displaystyle{ A\left( x\right)=\frac{1}{4}\left(-a_{1}+a_{0}\right) \cdot \frac{1}{1+3x}+\frac{1}{4}\left(a_{1}+3a_{0} \right) \cdot \frac{1}{1-x}\\
A\left( x\right)=\frac{1}{4}\left(-a_{1}+a_{0}\right) \cdot \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( -3\right)^nx^n }+\frac{1}{4}\left(a_{1}+3a_{0} \right) \sum_{n=0}^{ \infty }{x^n}\\
a_{n}=\frac{1}{4}\left(-a_{1}+a_{0}\right) \cdot \left(-3 \right) ^{n}+\frac{1}{4}\left(a_{1}+3a_{0} \right)\\}\)
Funkcje trygonometryczne dostajemy po zastosowaniu wzoru de Moivre
\(\displaystyle{ a_{n}=-2a_{n-1}+3a_{n-2}\\
A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=\sum_{n=2}^{ \infty }{-2a_{n-1}x^{n}}+\sum_{n=2}^{ \infty }{3a_{n-2}x^{n}} \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=-2x\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-1}x^{n-1}}+3x^2\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n-2}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=-2x\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}+3x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-a_{0}-a_{1}x=-2x\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-a_{0} \right) +3x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}\\
A\left( x\right)-a_{0}-a_{1}x=-2x\left( A\left( x\right)-a_{0} \right)+3x^2A\left( x\right)\\
A\left( x\right)\left( 1+2x-3x^2\right)=a_{0}+\left(a_{1}+2a_{0}\right)x\\
A\left( x\right)=\frac{a_{0}+\left(a_{1}+2a_{0}\right)x}{1+2x-3x^2}\\
A\left( x\right)=\frac{a_{0}+\left(a_{1}+2a_{0}\right)x}{\left(1+3x\right)\left(1-x\right)}\\
\frac{p}{1+3x}+\frac{q}{1-x}=\frac{a_{0}+\left(a_{1}+2a_{0}\right)x}{\left(1+3x\right)\left(1-x\right)}\\
p\left(1-x\right)+q\left( 1+3x\right)=a_{0}+\left(a_{1}+2a_{0}\right)x\\
\begin{cases} p+q=a_{0} \\ -p+3q=a_{1}+2a_{0} \end{cases}\\
\begin{cases} p=a_{0}-q \\ 4q=a_{1}+3a_{0} \end{cases}\\
\begin{cases} p=\frac{1}{4}\left(-a_{1}+a_{0}\right) \\ q=\frac{1}{4}\left(a_{1}+3a_{0} \right) \end{cases} \\}\)
\(\displaystyle{ A\left( x\right)=\frac{1}{4}\left(-a_{1}+a_{0}\right) \cdot \frac{1}{1+3x}+\frac{1}{4}\left(a_{1}+3a_{0} \right) \cdot \frac{1}{1-x}\\
A\left( x\right)=\frac{1}{4}\left(-a_{1}+a_{0}\right) \cdot \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( -3\right)^nx^n }+\frac{1}{4}\left(a_{1}+3a_{0} \right) \sum_{n=0}^{ \infty }{x^n}\\
a_{n}=\frac{1}{4}\left(-a_{1}+a_{0}\right) \cdot \left(-3 \right) ^{n}+\frac{1}{4}\left(a_{1}+3a_{0} \right)\\}\)