Rozwiąż równanie rekurencyjne

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Rozwiąż równanie rekurencyjne

Post autor: Mariusz M »

Można liczyć tak samo , trzeba tylko co nieco wiedzieć o zespolonych
by zastosować wzór de Moivre i otrzymać funkcje trygonometryczne
Rozwiązując funkcjami tworzącymi więcej widać np gdy pierwiastek jest wielokrotny,
gdy równanie jest niejednorodne
Poza tym więcej równań można rozwiązać np równanie na liczby Catalana


\(\displaystyle{ X_{n+2} + X_{n}=0\\
X_{0}=0\\
X_{1}=1}\)


\(\displaystyle{ X_{n} + X_{n-2}=0\\
X_{0}=0\\
X_{1}=1}\)



\(\displaystyle{ x\left( t\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{X_{n}t^n}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{X_{n}t^n}+\sum_{n=2}^{ \infty }{X_{n-2}t^n}=0\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{X_{n}t^n}+t^2\sum_{n=2}^{ \infty }{X_{n-2}t^{n-2}}=0\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{X_{n}t^n}-t+t^2\sum_{n=0}^{ \infty }{X_{n}t^{n}}=0\\
x\left( t\right)-t+t^2x\left( t\right)=0\\
x\left( t\right)\left( 1+t^2\right)=t\\
x\left( t\right)=\frac{t}{1+t^2} \\
x\left( t\right)=\frac{A}{1-it}+\frac{B}{1+it}\\
\frac{A}{1-it}+\frac{B}{1+it}=\frac{t}{1+t^2}\\
A\left( 1+it\right)+B\left( 1-it\right)=t\\
\begin{cases} A+B=0 \\ i\left(A-B\right)=1 \end{cases}\\
\begin{cases} A+B=0 \\ A-B=-i \end{cases}\\
\begin{cases} B=-A \\ 2A=-i \end{cases} \\
x\left( t\right)=\frac{1}{2} \cdot \frac{i}{1+it}+\frac{1}{2}\frac{\left( -i\right) }{1-it}\\

x\left( t\right)=\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{ \infty }{i \cdot \left( -i\right)^nt^n }+\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{ \infty }{-i\left( i\right)^nt^n } \\
X_{n}= \frac{1}{2} \cdot i \cdot \left( -i\right)^n+\frac{1}{2}\left(-i \right)\left( i\right)^n\\
i=\cos{\left( \frac{\pi}{2} \right) }+i\sin{\left( \frac{\pi}{2}\right) } \\
\frac{1}{2}\left(\cos{\left(\frac{\pi}{2} -\frac{\pi}{2}n\right) }+i\sin{\left(\frac{\pi}{2} -\frac{\pi}{2}n \right) }+\frac{1}{2}\left( \cos{\left(- \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}n\right) }+i\sin{\left(- \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}n\right)}\right) \\}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left(\cos{\left( \frac{\pi}{2}n-\frac{\pi}{2}\right) }-i\sin{\left(\frac{\pi}{2}n-\frac{\pi}{2} \right) }\right)+\frac{1}{2}\left( \cos{\left(- \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}n\right) }+i\sin{\left(- \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}n\right)}\right) \\
=\cos{\left( \frac{\pi}{2}n-\frac{\pi}{2}\right) }\\}\)


Tutaj ze wzorów redukcyjnych można sinusa dostać
urchin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 144
Rejestracja: 13 kwie 2009, o 15:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 49 razy

Rozwiąż równanie rekurencyjne

Post autor: urchin »

Wielkie dzięki, trochę musze to przeanalizować.

Pozdrawiam
ODPOWIEDZ