Rozwiąż równanie rekurencyjne

[urchin]

\(\displaystyle{ X_{n+2} + X_{n}=0\\
X_{0}=0\\
x_{1}=1}\)

Co znaczy rozwiąż równanie rekurencyjne?
Znaleźć wzór jawny dla rekurencji korzystając z równania charakterystycznego?
i dwóch wzorów 1)Przy jednym pierwiastku lub 2)Przy dwóch pierwiastkach?

Proszę o pomoc jak rozumieć "Rozwiąż równanie rekurencyjne" i jak to zrobić.

[miodzio1988]

Rozwiąż czyli wskaż jak wygląda wyraz ogólny tego ciągu

[urchin]

Czy to znaczy znaleźć wzór jawny rekurencji?
Proszę rozpisz to dokładnie.

[miodzio1988]

Tak. Co to jest wzór jawny znajdziesz przecież przez google, więc od tego bym zaczął

[urchin]

Niestety nadal nie wiem jak to rozwiązać.
Znaleźć wzór jawny dla
np. \(\displaystyle{ a_{n}=-2a_{n-1}+3a_{n-2}}\)
wiem
Wyznaczam p i g
Podstawiam do wzoru charakterystycznego
\(\displaystyle{ X ^{2} -pX-q}\)
Obliczam Deltę i pierwiastki
W zależności ile pierwiastków korzystam z jednego z dwóch wzorów, ale w tym zadaniu jest podane
\(\displaystyle{ X_{n+2}+X_{n}=0}\) i co mam z tym zrobić?

[arek1357]

\(\displaystyle{ r^2+1=0}\)

\(\displaystyle{ r_{1}=i, r_{2}=-i}\)

[urchin]

Proszę opisz jak postępujesz, jaki jest schemat działania.-- 17 paź 2015, o 21:23 --To zadanie jest jakieś inne od postaci: \(\displaystyle{ a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}}\)

[arek1357]

To moje równanie charakterystyczne jest do twego pierwszego postu


a do twego ostatniego postu równanie ma postać:

\(\displaystyle{ r^2=r+1}\)

[urchin]

równanie charakterystyczne z:

\(\displaystyle{ a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}}\)

podstawiamy odpowienie potęgi za \(\displaystyle{ a_{n},a_{n-1},a_{n-2}}\)

czyli
\(\displaystyle{ r^2=r^1+r^0}\)
dlatego
\(\displaystyle{ r^2=r+1}\)

ale nie sposób obliczyć pierwiastka Delty
Działania na liczbach zespolonych?

[arek1357]

a co ci przeszkadzają liczby zespolone?

[robertm19]

Dla pierwszego \(\displaystyle{ r_1=i}\) oraz \(\displaystyle{ r_2=-i}\), a to oznacza, że \(\displaystyle{ a_n=C_1 \left( i \right) ^n+C_2 \left( -i \right) ^n}\).
Dalej \(\displaystyle{ a_n=C_1\cdot i \cdot \sin \left( \frac{\pi n}{2} \right) -C_2\cdot i \sin \left( \frac{\pi n}{2} \right)}\),
a stąd widać że \(\displaystyle{ C_1=-\frac{i}{2}}\) a \(\displaystyle{ C_2=\frac{i}{2}}\).

[a4karo]

Mam lepszy pomysł: wypisz sobie 8 pierwszych wyrazów tego ciagu. Może coś ci się rzuci w oczy...

[urchin]

Przy dwóch pierwiastkach korzystam ze wzoru:
\(\displaystyle{ a_{n}=C_{1} \cdot \left( X_{1} \right) ^n+C_{2} \cdot \left( X_{2} \right) ^n}\)

a za \(\displaystyle{ \left( i \right) ^n}\) podstawiam \(\displaystyle{ i \cdot \sin \left( \frac{\pi n}{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ \left( -i \right) ^n=-i \cdot \sin \left( \frac{\pi n}{2} \right)}\)

na przekształcenie "potęgi liczby zespolonej" jest taki wzór, taki jak zastosowałeś.

Jak się pozbywasz tego sin i Pi n?

-- 17 paź 2015, o 22:31 --

Dzięki za pomoc

Pozdrawiam

[Mariusz M]

Funkcje tworzące byłyby wygodniejsze
Funkcje trygonometryczne dostajemy po zastosowaniu wzoru de Moivre

\(\displaystyle{ a_{n}=-2a_{n-1}+3a_{n-2}\\
A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=\sum_{n=2}^{ \infty }{-2a_{n-1}x^{n}}+\sum_{n=2}^{ \infty }{3a_{n-2}x^{n}} \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=-2x\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-1}x^{n-1}}+3x^2\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n-2}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=-2x\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}+3x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-a_{0}-a_{1}x=-2x\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-a_{0} \right) +3x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}\\
A\left( x\right)-a_{0}-a_{1}x=-2x\left( A\left( x\right)-a_{0} \right)+3x^2A\left( x\right)\\
A\left( x\right)\left( 1+2x-3x^2\right)=a_{0}+\left(a_{1}+2a_{0}\right)x\\
A\left( x\right)=\frac{a_{0}+\left(a_{1}+2a_{0}\right)x}{1+2x-3x^2}\\
A\left( x\right)=\frac{a_{0}+\left(a_{1}+2a_{0}\right)x}{\left(1+3x\right)\left(1-x\right)}\\
\frac{p}{1+3x}+\frac{q}{1-x}=\frac{a_{0}+\left(a_{1}+2a_{0}\right)x}{\left(1+3x\right)\left(1-x\right)}\\
p\left(1-x\right)+q\left( 1+3x\right)=a_{0}+\left(a_{1}+2a_{0}\right)x\\
\begin{cases} p+q=a_{0} \\ -p+3q=a_{1}+2a_{0} \end{cases}\\
\begin{cases} p=a_{0}-q \\ 4q=a_{1}+3a_{0} \end{cases}\\
\begin{cases} p=\frac{1}{4}\left(-a_{1}+a_{0}\right) \\ q=\frac{1}{4}\left(a_{1}+3a_{0} \right) \end{cases} \\}\)

\(\displaystyle{ A\left( x\right)=\frac{1}{4}\left(-a_{1}+a_{0}\right) \cdot \frac{1}{1+3x}+\frac{1}{4}\left(a_{1}+3a_{0} \right) \cdot \frac{1}{1-x}\\
A\left( x\right)=\frac{1}{4}\left(-a_{1}+a_{0}\right) \cdot \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( -3\right)^nx^n }+\frac{1}{4}\left(a_{1}+3a_{0} \right) \sum_{n=0}^{ \infty }{x^n}\\
a_{n}=\frac{1}{4}\left(-a_{1}+a_{0}\right) \cdot \left(-3 \right) ^{n}+\frac{1}{4}\left(a_{1}+3a_{0} \right)\\}\)

[a4karo]

Ludzie, mówimy o ciagu
\(\displaystyle{ X_{n+2} + X_{n}=0\\
X_{0}=0\\
x_{1}=1}\)

czyli 0,1,0,-1,0,1,0,-1....