Nieograniczona szachownica, ciekawy problem
-
TheButcher
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 5 lis 2006, o 18:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Nieograniczona szachownica, ciekawy problem
Mamy nieograniczoną szachownicę. Przez (a,b) oznaczamy pole położone na przecięciu rzędu o numerze a z kolumną o numerze b. Pionek może z pola (a,b) wykonać ruch na dowolne z ośmiu pól (a+/-m, b+/-n), (a+/-n, b+/-m), gdzie n i m są ustalonymi, różnymi od siebie, liczbami naturalnymi, a znaki (+) i (-) wybiera się dowolnie. Po x krokach pionek powrócił na pole początkowe. Wykaż, że x jest liczbą parzystą.
-
jovante
- Użytkownik
- Posty: 204
- Rejestracja: 23 cze 2007, o 14:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Siedlce
- Pomógł: 56 razy
Nieograniczona szachownica, ciekawy problem
Oznaczmy przez:
\(\displaystyle{ k_1}\) ruch pionka w kierunku \(\displaystyle{ (+m;+n)}\)
\(\displaystyle{ k_2}\) ruch pionka w kierunku \(\displaystyle{ (+m;-n)}\)
\(\displaystyle{ k_3}\) ruch pionka w kierunku \(\displaystyle{ (-m;+n)}\)
\(\displaystyle{ k_4}\) ruch pionka w kierunku \(\displaystyle{ (-m;-n)}\)
\(\displaystyle{ k_5}\) ruch pionka w kierunku \(\displaystyle{ (+n;+m)}\)
\(\displaystyle{ k_6}\) ruch pionka w kierunku \(\displaystyle{ (+n;-m)}\)
\(\displaystyle{ k_7}\) ruch pionka w kierunku \(\displaystyle{ (-n;+m)}\)
\(\displaystyle{ k_8}\) ruch pionka w kierunku \(\displaystyle{ (-n;-m)}\)
, gdzie \(\displaystyle{ m {N}}\) i \(\displaystyle{ n {N}}\), zaś \(\displaystyle{ \forall{i {\{1,2,\cdots,8\}} \quad k_i {N} \cup \{0\}}\).
Ponieważ pionek powraca do punktu \(\displaystyle{ (a;b)}\) musi zachodzić:
\(\displaystyle{ \begin{cases}m(k_1+k_2-k_3-k_4)+n(k_5+k_6-k_7-k_8)=0\\n(k_1-k_2+k_3-k_4)+m(k_5-k_6+k_7-k_8)=0\end{cases}}\)
Rozwiązując ten układ uwzględnijmy dwa przypadki:
1) Jeżeli \(\displaystyle{ k_1+k_2-k_3-k_4 = 0}\), to musi też być \(\displaystyle{ k_5+k_6-k_7-k_8 = 0}\), skąd otrzymujemy:
\(\displaystyle{ k_1+k_2=k_3+k_4}\) i \(\displaystyle{ k_5+k_6=k_7+k_8}\)
Suma ruchów pionka wynosi zatem
\(\displaystyle{ k_1+k_2+k_3+k_4+k_5+k_6+k_7+k_8=2(k_1+k_2)+2(k_5+k_6)}\), a więc jest parzysta.
2) Jeżeli \(\displaystyle{ k_1+k_2-k_3-k_4\neq 0}\), to otrzymujemy następującą równość:
\(\displaystyle{ (k_1-k_4)^2- (k_2-k_3)^2=(k_5-k_8)^2- (k_6-k_7)^2}\), która nie zachodzi dla nieparzystej liczby nieparzystych \(\displaystyle{ k_i}\).
\(\displaystyle{ k_1}\) ruch pionka w kierunku \(\displaystyle{ (+m;+n)}\)
\(\displaystyle{ k_2}\) ruch pionka w kierunku \(\displaystyle{ (+m;-n)}\)
\(\displaystyle{ k_3}\) ruch pionka w kierunku \(\displaystyle{ (-m;+n)}\)
\(\displaystyle{ k_4}\) ruch pionka w kierunku \(\displaystyle{ (-m;-n)}\)
\(\displaystyle{ k_5}\) ruch pionka w kierunku \(\displaystyle{ (+n;+m)}\)
\(\displaystyle{ k_6}\) ruch pionka w kierunku \(\displaystyle{ (+n;-m)}\)
\(\displaystyle{ k_7}\) ruch pionka w kierunku \(\displaystyle{ (-n;+m)}\)
\(\displaystyle{ k_8}\) ruch pionka w kierunku \(\displaystyle{ (-n;-m)}\)
, gdzie \(\displaystyle{ m {N}}\) i \(\displaystyle{ n {N}}\), zaś \(\displaystyle{ \forall{i {\{1,2,\cdots,8\}} \quad k_i {N} \cup \{0\}}\).
Ponieważ pionek powraca do punktu \(\displaystyle{ (a;b)}\) musi zachodzić:
\(\displaystyle{ \begin{cases}m(k_1+k_2-k_3-k_4)+n(k_5+k_6-k_7-k_8)=0\\n(k_1-k_2+k_3-k_4)+m(k_5-k_6+k_7-k_8)=0\end{cases}}\)
Rozwiązując ten układ uwzględnijmy dwa przypadki:
1) Jeżeli \(\displaystyle{ k_1+k_2-k_3-k_4 = 0}\), to musi też być \(\displaystyle{ k_5+k_6-k_7-k_8 = 0}\), skąd otrzymujemy:
\(\displaystyle{ k_1+k_2=k_3+k_4}\) i \(\displaystyle{ k_5+k_6=k_7+k_8}\)
Suma ruchów pionka wynosi zatem
\(\displaystyle{ k_1+k_2+k_3+k_4+k_5+k_6+k_7+k_8=2(k_1+k_2)+2(k_5+k_6)}\), a więc jest parzysta.
2) Jeżeli \(\displaystyle{ k_1+k_2-k_3-k_4\neq 0}\), to otrzymujemy następującą równość:
\(\displaystyle{ (k_1-k_4)^2- (k_2-k_3)^2=(k_5-k_8)^2- (k_6-k_7)^2}\), która nie zachodzi dla nieparzystej liczby nieparzystych \(\displaystyle{ k_i}\).