Witam,
czy byłby ktoś w stanie rozwiązać kilka zadań, które pojawiły się na egzaminie z matematyki dyskretnej? Sprawa jest raczej pilna bo jutro poprawka i gdyby ktoś był w stanie wytłumaczyć jak to ugryźć.
1. Udowodnij twierdzenie : " jeśli pewne dwie liczby naturalne są równe \(\displaystyle{ 5}\) modulo \(\displaystyle{ 7}\), to ich iloczyn jest równy \(\displaystyle{ 4}\) modulo \(\displaystyle{ 7}\)". Jaki rodzaj dowodu został wykorzystany?
2. Na czym polega zasada indukcji matematycznej. przedstaw jej schemat ( i udowodnij) na przykładzie twierdzenia \(\displaystyle{ \frac{3}{15} + \frac{8}{15} + \frac{13}{15} + ... + \frac{5n-2 }{15} = \frac{5n ^{2} + n }{30}}\)
4. Ile jest możliwości wylosowania \(\displaystyle{ 3}\) kul spośród \(\displaystyle{ 3}\) kul białych, \(\displaystyle{ 6}\) kul zielonych i \(\displaystyle{ 3}\) kul czerwonych, tak aby otrzymać przynajmniej pod jednej wylosowanej kuli koloru białego i koloru czerwonego ( przedstaw stosowaną zasadę kombinatoryczną i objaśnij obliczenia. )
5.Kiedy relacja jest równowaznościowa? Przedstaw warunki. Objaśnij czy relacja \(\displaystyle{ m R n \Leftrightarrow \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 1}\) dla \(\displaystyle{ m, n \in\NN}\) jest równoważnościowa?
Matematyka dyskretna - zadania na egzamin
Matematyka dyskretna - zadania na egzamin
Ostatnio zmieniony 5 paź 2015, o 19:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Umieszczanie zadań z różnych działów w jednym poście.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Umieszczanie zadań z różnych działów w jednym poście.
- jutrvy
- Użytkownik
- Posty: 1202
- Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 239 razy
Matematyka dyskretna - zadania na egzamin
1. Te dwie liczby są postaci \(\displaystyle{ 7k + 5, 7l+5}\) dla pewnych całkowitych \(\displaystyle{ k,l}\). Ich iloczynem będzie \(\displaystyle{ 49kl + 35(k+l) + 25 = 7(7kl + 5(k+l) + 3) + 4}\), zatem ich iloczyn w dzieleniu przez siedem daje resztę \(\displaystyle{ 4}\). Udowodniłem to metodą najbardziej elementarną, jak tylko można :p
2..
3. Liceum.
4. Nie ma czegoś takiego, jak relacja równoważnościowa...
2.
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Indukcja_matematyczna
3. Liceum.
4. Nie ma czegoś takiego, jak relacja równoważnościowa...
Matematyka dyskretna - zadania na egzamin
Jeżeli chodzi o zadanie 3, wiem że temat z liceum i prosty, ale czy mogę to zapisać w takiej formie że wypisze wszystkie możliwe kombinacje i po prostu jest zlicze razem?
A w zadaniu z relacjami taka była dokładnie treść na kartce z egzaminu podejrzewam, że chodziło o równoważnościową więc trzeba udowodnić że jest symtryczna przechodnia i zwrotna.
A w zadaniu z relacjami taka była dokładnie treść na kartce z egzaminu podejrzewam, że chodziło o równoważnościową więc trzeba udowodnić że jest symtryczna przechodnia i zwrotna.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Matematyka dyskretna - zadania na egzamin
Jak to "wypiszę wszystkie możliwe kombinacje", chcesz sobie pisać biała-czerwona-czerwona itp.? Bo nie rozumiem, jeśli tak, to proponuję coś wygodniejszego.
Możliwości wylosowania trzech kul z tego zbioru tak, aby nie było białych, jest \(\displaystyle{ {9\choose 3}}\), podobnie mamy \(\displaystyle{ {9 \choose 3}}\) możliwości wylosowania z tego zbioru trzech kul tak, aby nie było czerwonych. A na \(\displaystyle{ {6 \choose 3}}\) sposobów możemy wybrać tak, by nie wylosować ani kuli białej, ani kuli czerwonej (po prostu zachodzi to tylko jeśli wylosujemy same zielone).
Czyli z zasady włączeń i wyłączeń mamy \(\displaystyle{ {9 \choose 3}+{9 \choose 3}-{6 \choose 3}}\) możliwości wylosowania trzech kul tak, aby nie wylosować żadnej białej lub nie wylosować żadnej czerwonej. Teraz odejmij tę liczbę od liczby wszystkich możliwych wylosowań \(\displaystyle{ 3}\) spośród \(\displaystyle{ 12}\) kul i masz wynik.
Możliwości wylosowania trzech kul z tego zbioru tak, aby nie było białych, jest \(\displaystyle{ {9\choose 3}}\), podobnie mamy \(\displaystyle{ {9 \choose 3}}\) możliwości wylosowania z tego zbioru trzech kul tak, aby nie było czerwonych. A na \(\displaystyle{ {6 \choose 3}}\) sposobów możemy wybrać tak, by nie wylosować ani kuli białej, ani kuli czerwonej (po prostu zachodzi to tylko jeśli wylosujemy same zielone).
Czyli z zasady włączeń i wyłączeń mamy \(\displaystyle{ {9 \choose 3}+{9 \choose 3}-{6 \choose 3}}\) możliwości wylosowania trzech kul tak, aby nie wylosować żadnej białej lub nie wylosować żadnej czerwonej. Teraz odejmij tę liczbę od liczby wszystkich możliwych wylosowań \(\displaystyle{ 3}\) spośród \(\displaystyle{ 12}\) kul i masz wynik.
- jutrvy
- Użytkownik
- Posty: 1202
- Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 239 razy
Matematyka dyskretna - zadania na egzamin
Relacja równoważności, nie równoważnościowa, jeśli już. No to pokaż, że jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna. Możesz zacząć od zwrotności.
-- 5 paź 2015, o 20:23 --
PS nie rozumiem, co znaczy "...(i udowodnij) na przykładzie twierdzenia...", czyżby chodziło o dowód przez przykład?
-- 5 paź 2015, o 20:23 --
PS nie rozumiem, co znaczy "...(i udowodnij) na przykładzie twierdzenia...", czyżby chodziło o dowód przez przykład?
-
- Administrator
- Posty: 34281
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Matematyka dyskretna - zadania na egzamin
Co to ma być?!jutrvy pisze:Relacja równoważności, nie równoważnościowa, jeśli już. No to pokaż, że jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna. Możesz zacząć od zwrotności.
JK