Liczba możliwych par

[Hendra]

Witajcie!
Mam zapytanie odnośnie wzoru, do którego właśnie doszedłem w zadaniach z kombinatoryki o ilości możliwych par.
Czy taki wzór będzie działał zawsze czy po prostu tym razem przypadek chciał, że wynik okazał się dobry?
\(\displaystyle{ z=\frac{n!}{2^p \cdot p!}}\)
Gdzie:
z - ilość możliwych ustawień,
n - liczba osób, z których budujemy pary,
p - liczba uzyskanych par (czyli po prostu \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\))

[Michalinho]

A co dla Ciebie oznacza np. \(\displaystyle{ \frac{3}{2}!}\) ?

[Hendra]

A co dla Ciebie oznacza np. \(\displaystyle{ \frac{3}{2}!}\) ?

Racja, przy założeniu, że \(\displaystyle{ n=2k, k \in C}\)

[MatXXX]

Działa. Chcemy podzielić zbiór \(\displaystyle{ n}\) elementowy na \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\) par, nie liczy się kolejność par ani kolejność osób w parze. Używając do tego

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_Newtona#Uog.C3.B3lnienie_na_wielomiany_wy.C5.BCszych_stopni

możemy rozważyć \(\displaystyle{ {n \choose \underbrace{2,2,2, \ldots 2}_{\frac{n}{2}}} = \frac{n!}{(2!)^{\frac{n}{2}}}}\), co jest ilością podziałów zbioru \(\displaystyle{ n}\) elementowego na rozróżnialne pary. U Ciebie pary są nierozróżnialne, więc trzeba otrzymane wyrażenie podzielić przez ilość możliwych permutacji tych par, czyli przez \(\displaystyle{ \frac{n}{2}!}\), czyli twój wzór jest prawidłowy.

[Hendra]

Super, wielkie dzięki! Teraz faktycznie jestem przekonany, że wzór działa.
I następna kwestia związana ze wzorem.
Jeśli dwoje osób nie chcą być ze sobą w parze to czy licząc:
\(\displaystyle{ z=\frac{n!}{2^p \cdot p!}-\frac{(n-2)!}{2^\frac{n-2}{2}\cdot\frac{n-2}{2}!}}\)
otrzymam dobry wynik?

[MatXXX]

Potwierdzam. Oprócz oczywistego teraz odjęcia problematycznych ustawień od wszystkich możliwych, można to też udowodnić kombinatorycznie: Niech osoby, które nie chcą obok siebie siedzieć mają numerki \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ 2}\). Zbudujmy pasujące do warunków permutacje \(\displaystyle{ n}\) osób. Parami będą sąsiedzi o pozycjach nieparzystej i parzystej (pierwszy w permutacji z drugim, trzeci z czwartym...). Ustalamy najpierw, gdzie znajdzie się osoba \(\displaystyle{ 1}\) na \(\displaystyle{ n}\) sposobów, potem osobę z numerem \(\displaystyle{ 2}\) ustawiamy na jedno z pozostałych miejsc oprócz miejsca, na którym trafiłaby do pary z \(\displaystyle{ 1}\) (jeżeli 1 trafił na parzyste, to 2 nie może trafić na nieparzyste przed nim, a jeżeli 1 trafił na nieparzyste, to odpada parzyste po nim). Resztę osób ustawiamy dowolnie. Takich permutacji jest \(\displaystyle{ \frac{n!}{n-1} \cdot (n-2)}\). Teraz niwelujemy rozróżnialność par i kolejność osób w parach dzieląc powyższe przez \(\displaystyle{ 2^p \cdot p!}\). Ostateczny wynik to \(\displaystyle{ \frac{\frac{n!}{n-1}\cdot(n-2)}{2^p \cdot p!}}\), co jest równoważne twojej odpowiedzi po sprowadzeniu do wspólnego mianownika.