Nie mogą siedzieć obok siebie

[Tommy A]

\(\displaystyle{ 12}\) ludzi siedzi na ławce. Grupa trzech osób nie może siedzieć obok siebie.

Zacząłem tu pisać swoje rozwiązanie, ale w połowie zaważyłem że nie ma sensu... Pewnie będzie \(\displaystyle{ 9! \cdot 3!}\) i razy coś jeszcze ale nie mam pojęcia co.

[Medea 2]

Narysuj ławkę i dziewięć krzeseł. Wybierz po jednej osobie do A, B, C spośród pozostałych. Ci doklejeni będą siedzieć po prawej stronie "partnerów". Rozmieść dziewięć osób (lub par osób) na krzesłach.

[piasek101]

Oblicz wszystkie możliwości i odejmij te gdzie ta grupa siedzi obok siebie.

[Tommy A]

Medea 2,
no to dobrać mogę na \(\displaystyle{ 9 \cdot 8 \cdot 7}\) sposobów, a rozsadzić na \(\displaystyle{ 9!}\). Iloczyn będzie wynikiem? Zastanawiałem się co będzie jeśli będę chciał wcisnąć między parę kogoś jeszcze spośród tej dziewiątki "innych", ale ta możliwość jest już przecież zawarta w tym \(\displaystyle{ 9!}\).

piasek101,
\(\displaystyle{ 12!-10! \cdot 3!}\) ed: odjąć jeszcze przypadek jak dwóch siedzi obok siebie, ale to wciąż o wiele za dużo

Inne wyniki.. :/

[piasek101]

Podoba mi się ten drugi (oczywiste).

[Tommy A]

poprawka

a) mam 3 pary i 6 osób do rozsadzenia, więc \(\displaystyle{ 9! \cdot 9! \cdot 3! = 790,091,366,400}\) bo osoby w grupach wciąż mogą się przesuwać między sobą

b) Liczba wszystkich możliwości: \(\displaystyle{ 12!}\)
Gdy 3 osoby siedzą razem: \(\displaystyle{ 10! \cdot 3!}\)
Gdy 2 osoby lub 3 siedzą obok siebie: \(\displaystyle{ 11! \cdot 2!}\)
Czyli gdy 2 osoby spośród 3 siedzą obok siebie: \(\displaystyle{ 11! \cdot 2! - 10! \cdot 3!}\)
Właściwie mogłem od razu odjąć \(\displaystyle{ 12! - 11! \cdot 2! = 11! \cdot 10 = 399,168,000}\)

Gdzieś się walnąłem...

[Medea 2]

W moim sposobie gubisz te konfiguracje, gdzie jedna osoba spośród A, B, C siedzi na prawym skraju ławki. Mea culpa.

[piasek101]

Jeśli ,,trzy mają nie siedzieć obok siebie" to ,,dwie mogą siedzieć".

[arek1357]

Będzie:

\(\displaystyle{ 9! \cdot 3! \cdot L}\)

Policzmy \(\displaystyle{ L}\).

Podzielmy ławkę na cztery szuflady, szuflady są podzielone przegródkami a przegródki to osoby, które nie mogą siedzieć koło siebie, te osoby wyznaczają dokładnie cztery obszary(szuflady).
Tylko jeśli któraś z tych osób nie mogących siedzieć koło siebie siedzi na początku lub na końcu ławki,
lub na początku i na końcu to ilość osób w pierwszym lub ostatnim obszarze może wynosić zero.
Pozostałe obszary nie mogą być puste.
Reasumując ilość możliwych podziałów na obszary jest ilością rozwiązań równania:

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=9}\),

gdzie:

\(\displaystyle{ x_{1},x_{4} \ge 0,x_{2},x_{3}>0}\)

\(\displaystyle{ x_{i}-}\) ilość osób w obszarze \(\displaystyle{ i}\) w którym przebywają osoby spoza tej trójki

Czyli nasze L to ilość rozwiązań powyższego równania co już łatwo obliczyć różnymi sposobami

Z moich obliczeń: \(\displaystyle{ L=120}\)

[Tommy A]

No to mam tak:

1 sposób - poprawka - \(\displaystyle{ 9! \cdot 3! \cdot 3! + 9! \cdot 3! \cdot 2! = 9! \cdot 3! (3! + 2!) = 9! \cdot 3! \cdot 8 = 17,418,240}\)

2 sposób - będę się upierał przy tym, że skoro grupa 3 osób nie może siedzieć obok siebie, to chodzi o to że żadna z trzech nie może siedzieć obok żadnej z pozostałych dwóch - \(\displaystyle{ 12! - 11! \cdot 2! = 11! \cdot 10 = 399,168,000}\)

3 sposób - \(\displaystyle{ 3! \cdot 9! \cdot L}\) - mi co prawda wyszło \(\displaystyle{ L = 8 + 36 + 36 + 56 = 136}\) ale to nie zmienia faktu, że byłoby to \(\displaystyle{ 296,110,080}\) lub \(\displaystyle{ 261,273,600}\)

Dosyć różne wyniki. Jutro będę z nauczycielką z maty gadał

[arek1357]

Co sposób to inne rozwiązanie dobre (tak to nie zajedziesz daleko) ale nie wiem czy się z tą nauczycielką dogadasz!
Mam złe doświadczenia z paniami od "fszystkiego" !

Masz przykład:
dwie osoby nie mogą siedzieć koło siebie a osób jest \(\displaystyle{ 5}\) razem

tu masz przypadki:

\(\displaystyle{ |ooo|}\)

\(\displaystyle{ o|oo|}\)

\(\displaystyle{ |oo|o}\)

\(\displaystyle{ oo|o|}\)

\(\displaystyle{ |o|oo}\)

\(\displaystyle{ o|o|o}\)

gdzie kreseczki oznaczają osoby, które nie mogą siedzieć koło siebie a kółka resztę.
Masz sześc przypadków co wynika z równania:

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}=3 , x_{1} , x_{3} \ge 0 , x_{2}>0}\)

co zliczając daje również sześć rozwiązań.

Permutując to wszystko masz:

\(\displaystyle{ 3! \cdot 2! \cdot 6}\)

ten przypadek na dwie osoby nie mogące siedzieć można jeszcze prościej rozwiązać a mianowicie:

\(\displaystyle{ 5!-4! \cdot 2!=3! \cdot 2! \cdot 6=72}\)

Analogicznie jak w zadaniu

Z której strony by nie zajechał i tak jest ok!