Potęgi liczby dziesięć

[EnemyPanda]

Ładnie proszę o wsparcie przy zadaniu

Ile jest całkowitoliczbowych dodatnich potęg liczby \(\displaystyle{ 10}\), które dzielą \(\displaystyle{ 50!}\) ?

[athame]

\(\displaystyle{ 12}\) (policzyłem "na palcach")

[Pinionrzek]

wskazówka

Ukryta treść:    

Zastosować wzór Lagrange'a. Mówi on, że jeżeli \(\displaystyle{ p}\) jest pierwsze, a \(\displaystyle{ v_p(n)}\) oznacza największą potęgę, w której \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ n}\), to \(\displaystyle{ v_p(n!)= \sum_{i=1}^{k} \left[ \frac{n}{p^i} \right]}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest taką liczbą całkowitą, że \(\displaystyle{ p^k \le n < p^{k+1}}\).

[EnemyPanda]

Dziękuje @Pinionrzek, tego mi brakowało

[athame]

Jak dla mnie to "paskudny" wzór, a zastosowanie go przypomina celowanie do muchy z armaty.

[Medea 2]

Trzynaście. Od pięć do pięćdziesiąt jest dziesięć liczb podzielnych przez pięć co najmniej raz i dwie podzielne dwa razy, czyli \(\displaystyle{ 10^{12}}\) dzieli \(\displaystyle{ 50!}\), ale \(\displaystyle{ 10^{13}}\) już nie.

[wielkireturner]

Trzynaście. Od pięć do pięćdziesiąt jest dziesięć liczb podzielnych przez pięć co najmniej raz i dwie podzielne dwa razy, czyli \(\displaystyle{ 10^{12}}\) dzieli \(\displaystyle{ 50!}\), ale \(\displaystyle{ 10^{13}}\) już nie.

Z tym, że mają być to dodatnie potęgi \(\displaystyle{ 10}\), więc wydaje mi się, że jest ich \(\displaystyle{ 12}\).

[Medea 2]

To zależy od tego, co rozumiemy przez dodatnią potęgę: ma to być liczba, która jest większa od zera czy liczba, która jako potęgą ma większy od zera wykładnik?

[athame]

Moja odpowiedź jest prawidłowa, a sposób rozumowania podobny do tego co napisała Madea 2 trzy wpisy wyżej.

Dla uzupełnienia mogę dodać, że dla każdej "piątki" musi istnieć wolna "dwója", ale te dwanaście "dwójek" osiągniemy bez problemu rozkładając na czynniki pierwsze np. liczby: \(\displaystyle{ 32}\), \(\displaystyle{ 16}\), i \(\displaystyle{ 8}\).

-- 5 paź 2015, o 01:08 --

To zależy od tego, co rozumiemy przez dodatnią potęgę: ma to być liczba, która jest większa od zera czy liczba, która jako potęgą ma większy od zera wykładnik?

To chyba rozstrzyga stwierdzenie, że ma to być potęga całkowitoliczbowa dodatnia...