Wyznaczenie liczby elementów zbioru

[Ert]

Podaj liczbę elementów zbioru \(\displaystyle{ A \cup B}\), jeśli:
- \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem trzycyfrowych liczb naturalnych parzystych, \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem trzycyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez \(\displaystyle{ 7}\).

liczba elementów w \(\displaystyle{ A: 9 \cdot 10 \cdot 5=450}\)

Jak wyznaczyć liczbę elementów w \(\displaystyle{ B}\)?

[Poszukujaca]

Pierwszą liczbą trzycyfrową podzielną przez \(\displaystyle{ 7}\) jest \(\displaystyle{ 105}\), a ostatnią \(\displaystyle{ 994}\).

Może przyda się cecha podzielności przez siedem?

[Jan Kraszewski]

Może przyda się cecha podzielności przez siedem?

Nie przyda się. Lepiej policzyć, ile jest liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 7}\) mniejszych od \(\displaystyle{ 1000}\) i odjąć liczbę tych, które są podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\) i mniejsze od \(\displaystyle{ 100}\).


JK

[Ert]

Może przyda się cecha podzielności przez siedem?

Gdybym chciała skorzystać z cechy podzielności przez 7, to nie potrafię wykorzystać znajomości tej z iloczynem kolejnych cyfr przez potęgi trójki do jakiegoś sensownego zapisu, w jaki sposób można to zrobić?-- 27 wrz 2015, o 11:42 --

Lepiej policzyć, ile jest liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 7}\) mniejszych od \(\displaystyle{ 1000}\) i odjąć liczbę tych, które są podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\) i mniejsze od \(\displaystyle{ 100}\).

Podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\) mniejsze od \(\displaystyle{ 1000}\):
\(\displaystyle{ a_{1}=7, a_{n}=994\\
994=7+7n-7\\
n=142}\)

Podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\) mniejsze od \(\displaystyle{ 100}\):
\(\displaystyle{ a_{1}=7, a_{n}=98\\
98=7+(n-1)7\\
91=7n-7\\
n=14\\
\\
142-14=128}\)

W ten sposób?

[Poszukujaca]

Tak. Bardzo dobry sposób.

[Ert]

Ale jak byłoby z wykorzystaniem cechy podzielności przez 7?

Co do powyższych wyliczeń: liczba elementów \(\displaystyle{ A \cup B=128+450=578}\), a według odpowiedzi z książki wynik to \(\displaystyle{ 514}\).

[kropka+]

Musisz odjąć liczbę wspólnych elementów obu zbiorów, bo liczysz je dwukrotnie.

[Poszukujaca]

Ale jak byłoby z wykorzystaniem cechy podzielności przez 7?

Jednak cecha podzielności nie jest dobrym sposobem, bo trzeba byłoby sprawdzać każdą liczbę po kolei..
Notabene cech podzielności przez siedem jest kilka, a ta najpopularniejsza dotyczy liczb tylko \(\displaystyle{ >1000}\).

[Jan Kraszewski]

Co do powyższych wyliczeń: liczba elementów \(\displaystyle{ A \cup B=128+450=578}\), a według odpowiedzi z książki wynik to \(\displaystyle{ 514}\).

Wzór to

\(\displaystyle{ |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.}\)

JK

[Ert]

Musisz odjąć liczbę wspólnych elementów obu zbiorów, bo liczysz je dwukrotnie.

A rzeczywiście. Nie wiem, jak wyznaczyć część wspólną w takiej sytuacji.

[kropka+]

Najmniejsza wspólna liczba to? A największa to? I pomiędzy nimi co czternasta.

[Jan Kraszewski]

Nie wiem, jak wyznaczyć część wspólną w takiej sytuacji.

To są liczby, które spełniają oba warunki, zatem trzycyfrowe parzyste podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\), czyli, jak napisała kropka+, podzielne przez \(\displaystyle{ 14}\). Zliczasz tak samo, jak poprzednio.

JK

[Ert]

\(\displaystyle{ A \cap B:\\
a_{1} =112\\
a_{n} =994\\
994=112+14n-14\\
n=64}\)
liczba elementów \(\displaystyle{ A \cup B=128+450-64=514}\)

Dziękuję za pomoc.