Liczba możliwych całkowitych rozwiązań równania

[WhiteRabbit7]

Witam, treść zadania: \(\displaystyle{ x_{1}+ x _{2} +x _{3}+x _{4} +x _{5}=40 \wedge x_{1} ,x_{2} \ge 3 \wedge x_{3}, x _{4}, x _{5} \ge 0}\) Ile możliwych całkowitych rozwiązań posiada powyższe równanie ?
Chciałbym się upewnić, czy wynik \(\displaystyle{ {38 \choose 34}}\) jest poprawny ? Z góry thx.

[kanarkowa]

Tak. Jest poprawnie, mi tak samo wyszło:

\(\displaystyle{ {(40-3-3)+5-1 \choose 40-3-3} = {38 \choose 34}}\)

[SlotaWoj]

Nie!
Wynik jest błędny.

Edit:
––––––
Tak!
Wynik jest poprawny.
Czytaj poniżej wyjaśnienie.

[kanarkowa]

Nie!
Wynik jest błędny.

Czy możesz wyprowadzić nas z błędu? Proszę o wskazówki.

[SlotaWoj]

Wygenerowałem w Pascalu wszystkie piątki całkowitoliczbowe i policzyłem ile z nich spełnia warunki zadania.

Edit
–––––
Wykorzystałem pewien programik napisany dla innego, ale podobnego zadania modyfikując go nieco, ale spartaczyłem te modyfikacje i wyszło jak wyszło, czyli źle.
Post Medei 2 poniżej, skłonił mnie do spojrzenia na ów programik krytycznym okiem i zauważenia błędu.
Składam samokrytykę i przepraszam, a Medei 2 dziękuję.

[WhiteRabbit7]

Też bym był wdzięczny za pokazanie rozwiązania, ewentualnie jakieś wskazówki.

[Medea 2]

Odpowiedź jest chyba prawidlowa: można wyobrazić sobie, że \(\displaystyle{ x_1, x_5 \ge 3}\), \(\displaystyle{ x_2, x_3, x_4 \ge 0}\) i wstawiamy cztery przegródki między czterdzieści kulek, z czego krańcowe trzy nie biorą udziału w zabawie. Poza tym,

Kod: Zaznacz cały

Length[
   Select[
      Map[{-3, -3, 0, 0, 0} + # &, Select[Tuples[Range[0, 10], 5], Total[#] == 10 &]], Min[#] >= 0 &
   ]
] - Binomial[8, 4]
0

[arek1357]

Warunki:

\(\displaystyle{ x_{1},x_{2} \ge 3}\)

\(\displaystyle{ x_{3},x_{4}, x_{4}\ge 0}\)

Z tego wynika, że równanie charakterystyczne ma postać:

\(\displaystyle{ (x^3+x^4+x^5+...)^2 \cdot (1+x+x^2+x^3+...)^3=x^6 \cdot (1+x+x^2+x^3+...)^5=
\frac{x^6}{(1-x)^5}}\)

ale:

\(\displaystyle{ \frac{x^6}{(1-x)^5} = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^{n+6}}{24}(1+n)(2+n)(3+n)(4+n)=}\)

\(\displaystyle{ = \frac{x^6}{24} \sum_{n=0}^{ \infty }x^n(1+n)(2+n)(3+n)(4+n)}\)

dla:

\(\displaystyle{ n=34}\)

otrzymujemy współczynnik przy:

\(\displaystyle{ x^{40}}\)

i wynosi:

\(\displaystyle{ \frac{1}{24} \cdot (1+34)(2+34)(3+34)(4+34)=73815}\)