Cześć! Myślałam, ze już rozumiem, o co chodzi z zasadą włączania i wyłączania, ale po próbie rozwiązania kolejnego zadania zaskoczył mnie wynik w odpowiedziach. Następujące zadanie brzmi tak: Na ile sposobów możemy wybrać 20 kart z talii 52 tak, aby każda wartość blotki (każda z wartości od 2 do 9) była wybrana co najmniej raz.
Moja próba rozwiązania tego zadania:
\(\displaystyle{ |A|}\) - na tyle sposobów można wybrać 20 dowolnych kart
\(\displaystyle{ |A_i|}\) - karta o wartości \(\displaystyle{ i}\) nie została wybrana
\(\displaystyle{ |A| = {52 \choose 20}}\)
\(\displaystyle{ |A_i| = {48 \choose 20}}\) dla \(\displaystyle{ i = 2, 3, ..., 9}\)
\(\displaystyle{ |A_i \cap A_j| = {44 \choose 20}}\) dla \(\displaystyle{ i, j = 2, 3, ..., 9}\) oraz \(\displaystyle{ \neq j}\)
\(\displaystyle{ |A_i \cap A_j \cap A_k | = {40 \choose 20}}\) dla \(\displaystyle{ i, j, k = 2, 3, ..., 9}\) oraz \(\displaystyle{ i \neq j \neq k}\)
\(\displaystyle{ |A_i \cap A_j \cap A_k \cap A_l| = {36 \choose 20}}\) dla \(\displaystyle{ i, j, k = 2, 3, ..., 9}\) oraz \(\displaystyle{ i \neq j \neq k \neq l}\)
i tak dalej aż do \(\displaystyle{ |A_2 \cap A_3 \cap ... \cap A_9 | = {20 \choose 20}}\)
A teraz liczę tak, aby każda karta była wybrana, stąd te dopełnienie:
\(\displaystyle{ |A_2^C \cap A_3^C \cap ... \cap A_9^C| = |A_2 \cup A_3 \cup ... \cup A_9|^C = |A| - |A_2 \cup A_3 \cup ... \cup A_9 | =}\)
\(\displaystyle{ = {52 \choose 20} - {8 \choose 1}{48 \choose 20} + {8 \choose 2}{44 \choose 20} - {8 \choose 3}{40 \choose 20} + ... + {8 \choose 8}{20 \choose 20} = \sum_{k=0}^{8} (-1)^k {8 \choose k} {52 - 4k \choose 20}}\)
Jednak w odpowiedziach mam:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{8} (-1)^k {100 \choose k} {52 - 4k \choose 20}}\)
Mam nadzieję, ze mój sposób rozwiązania był wystarczająco jasny (choć może dziwny) i bardzo proszę o wskazanie mi błędu w moim toku rozumowania, ponieważ bardzo mnie to nurtuje, skąd się wzięło 100 zamiast 8?
Będę wdzięczna za jakieś wskazówki naprowadzające mnie do prawidłowego rozwiązania i serdecznie pozdrawiam!
Zasada włączania i wyłączania z kartami (Na ile sposobów...)
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Zasada włączania i wyłączania z kartami (Na ile sposobów...)
Nie widzę błędu w toku Twojego rozumowania i przedstawiony sposób rozwiązania wydaje się być poprawny (i też wcale nie jest dziwny).
Chyba jest błąd w odpowiedziach.
Chyba jest błąd w odpowiedziach.