Graf i liczba jego ścian

[michalalex132]

Istnieje pewien graf. Ile in ma krawędzi, wierzchołków tudzież ścian, jeśli stopień każdego z wierzchołków to 4, a ściany są trójkątami?

Odpowiedź:

Ponieważ każdy z wierzchołków ma stopień równy \(\displaystyle{ 4}\), jest to graf pełny. Jest on grafem regularnym stopnia\(\displaystyle{ n-1}\), zatem posiada \(\displaystyle{ 5}\) wierzchołków. Liczba krawędzi określona jest wzorem: \(\displaystyle{ \frac{n(n-1) }{2} = 10.}\) Liczba ścian wynosi \(\displaystyle{ 5.}\) (po rozrysowaniu grafu, przypomina on ostrosłup 4 - kątny.

Czy odpowiedź jest poprawna?

[norwimaj]

Ponieważ każdy z wierzchołków ma stopień równy \(\displaystyle{ 4}\), jest to graf pełny.

Nie jest to prawda.

po rozrysowaniu grafu, przypomina on ostrosłup 4 - kątny.

Ostrosłup czworokątny, jak sama nazwa wskazuje, nie ma wszystkich ścian trójkątnych.

[michalalex132]

Ponieważ każdy z wierzchołków ma stopień równy \(\displaystyle{ 4}\), jest to graf pełny.

Nie jest to prawda.

Dlaczego, przecież spełnia założenia grafu regularnego (taki sam stopień każdego z wierzchołków) i jest spójny (tj. graf pełny)?

[norwimaj]

Graf pełny, to taki w którym każde dwa wierzchołki są połączone krawędzią. Na przykład cykl długości \(\displaystyle{ 4}\) (kwadrat bez przekątnych) nie jest grafem pełnym.

[michalalex132]

Czyli będzie to figura, będąca połączeniem przy podstawie dwóch ostrosłupów trójkątnych? Wtedy wszystkich wierzchołków będzie \(\displaystyle{ 5}\). Najwyższe wierzchołki ostrosłupów (gdy stoi podstawą do dołu) muszą być wtedy połączone (złączenie \(\displaystyle{ 2}\) wysokości ostrosłupów). Uzyskuję wtedy stopnie wierzchołków równe \(\displaystyle{ 4}\). Liczba krawędzi wyniesie 10, a liczba ścian: /?/