Wylicz współczynnik - rozwinięcie zgodnie ze wzorem Newtona

[michalalex132]

Witam.

Jest następujące zadanie: Podaj kompletne wyliczenie współczynnika przy\(\displaystyle{ x ^{5}}\) w wyrażeniu otrzymanym z \(\displaystyle{ ( \frac{1}{2} - 2x) ^{9}}\), po rozwinięciu zgodnie ze wzorem Newtona.

Czyli powinienem skorzystać z twierdzenia:

____________
TW.
Dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n:}\) \(\displaystyle{ (x+y) ^{n} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x ^{n-k} y ^{k}}\)

____________

i rozwinąć wyrażenie w taki sposób:


\(\displaystyle{ (-2x + \frac{1}{2} ) ^{9} = {n \choose 0} (-2x) ^{9} + {n \choose 1} (-2x) ^{9-1} \frac{1}{2} +...}\)

Przy czym gdy dojdę do \(\displaystyle{ 5}\) potęgi \(\displaystyle{ x ^{5}}\), to powinienem, stosując wzór:
\(\displaystyle{ {r \choose k} = \frac{r(r-1)(r-2)...(r-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot k}}\)

wyliczyć to, co będzie stało przy piątej potędze \(\displaystyle{ (-2x)}\)?

[kropka+]

Nie musisz rozwijać. Wystarczy policzyć tylko jeden składnik \(\displaystyle{ {n \choose k} x ^{n-k} y ^{k}\) dla \(\displaystyle{ n-k=5}\). Dalej liczysz tak jak napisałeś i mnożysz przez to, co jeszcze będzie stało przy \(\displaystyle{ x ^{5}}\)

[michalalex132]

A czy \(\displaystyle{ ( \frac{1}{2} - 2x) ^{9}}\) powinienem brać do obliczeń jako\(\displaystyle{ (-2x + \frac{1}{2} ) ^{9}}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) ze wzoru \(\displaystyle{ = -2x}\)?

[kropka+]

Możesz brać dowolnie - za \(\displaystyle{ x}\) lub \(\displaystyle{ y}\) , bo dodawanie jest przemienne. Tylko patrz na odpowiednie potęgi przy zmiennych.

[michalalex132]

Zatem powinno być tak?


\(\displaystyle{ {9 \choose 4} (\frac{1}{2}) ^{5} (-2x) ^{4} = 254x}\)

gdzie \(\displaystyle{ 9-k = 5}\)

[kropka+]

\(\displaystyle{ {9 \choose 4} (\frac{1}{2}) ^{5} (-2x) ^{4} = 254x}\)

gdzie \(\displaystyle{ 9-k = 5}\)

Źle.
Po pierwsze wynik to \(\displaystyle{ 63x ^{4}}\)
Po drugie, jeśli \(\displaystyle{ -2x}\) podstawiłaś za \(\displaystyle{ y}\) to przy nim jest potęga \(\displaystyle{ k}\), więc liczysz dla \(\displaystyle{ k=5}\) ( bo chcesz policzyć współczynnik przy \(\displaystyle{ x ^{5}}\) a nie przy \(\displaystyle{ x ^{4}}\)).

[michalalex132]

Czyli:

\(\displaystyle{ {9 \choose 5} \left( \frac{1}{2} \right) ^{4} \left( -2x\right) ^{5}}\)

\(\displaystyle{ =}\)

\(\displaystyle{ {9 \choose 4} \left( -2x\right) ^{5} \left( \frac{1}{2} \right) ^{4}}\)

\(\displaystyle{ = -252x ^{5}}\) ?

Zatem odp. to -252

[kropka+]

tak

[michalalex132]

A co, jeśli wykładnik jest ujemny, i trzeba policzyć np.:

\(\displaystyle{ (1-x) ^{-1}}\) ?

Otrzymuję: \(\displaystyle{ {-1 \choose 0} - {-1 \choose 1}x + {-1 \choose 2} x ^{2} -...+ (-1)^k {-1 \choose k}x^k}\)

Tylko co można z tym zrobić dalej - tj. jak można policzyć dwumian Newtona z ujemnym n?

[kropka+]

\(\displaystyle{ a ^{-n}= \frac{1}{a ^{n} }}\), więc \(\displaystyle{ (1-x) ^{-1}= \frac{1}{1-x}}\)