Ze zbioru liczb losujemy...

[Bambuko]

Witam, mam takie zadanie:

Ze zbioru liczb: \(\displaystyle{ \{1,2,3...88\}}\) losujemy jednocześnie trzy. Na ile sposobów możemy otrzymać liczby, których suma kwadratów jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).

2. Gdy ich iloczyn jest podzielny przez \(\displaystyle{ 3}\).

[MatXXX]

Aby \(\displaystyle{ 3|x_1^2+x_2^2+x_3^3}\) zachodzić musi \(\displaystyle{ 3|x_1^2 \wedge 3|x_2^2 \wedge 3|x_3^3}\). A \(\displaystyle{ 3|x_i^2}\), wtedy, kiedy \(\displaystyle{ 3|x_i}\) (jeżeli w rozkładzie na czynniki liczby \(\displaystyle{ x_i}\) pewna liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) występuje \(\displaystyle{ k}\) razy, to w rozkładzie \(\displaystyle{ x_i^2}\) występuje \(\displaystyle{ 2k}\) razy, czyli po podniesieniu do kwadratu nie pojawią się nowe dzielniki pierwsze). Teraz wiadomo jakie liczby trzeba wybierać aby suma kwadratów była podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).

W drugim tylko jedna z liczb \(\displaystyle{ x_i^2}\) musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), reszta dowolna.

Edit: To zła odpowiedź.

[SlotaWoj]

zachodzić musi \(\displaystyle{ 3|x_1^2 \wedge 3|x_2^2 \wedge 3|x_3^3}\)

Nieprawda.

• \(\displaystyle{ 3|(2^2+4^2+5^2)}\)

[Zahion]

Zeby suma kwadratow byla podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), to albo wszystkie liczby sa podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), albo zadna.

[SlotaWoj]

Żeby suma kwadratów była podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), to albo wszystkie liczby są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), albo żadna.

Zmajstrowałem do tego tabelki w Excelu w zakresie liczb \(\displaystyle{ 1..15}\) i też do tego doszedłem, ale jak udowodnić do drugie.

[Jan Kraszewski]

Korzystasz z faktu, że kwadrat liczby całkowitej daje w dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\) resztę zero (gdy liczba ta jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\)) lub jeden (gdy jest niepodzielna przez \(\displaystyle{ 3}\)) - dowód tego faktu jest elementarny.

JK

[SlotaWoj]

Wyszedłem na balkon „na dymka” i mnie „oświeciło”.