Wyznaczyć ciąg an , rekurencja liniowa niejednorodna

[marcin1509]

Witajcie !
Mam problem z zadaniem :
Wyznaczyć ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\), w którym \(\displaystyle{ a_{0} = \frac{10}{3}, a_{1} = \frac{19}{3}}\)
oraz \(\displaystyle{ a_{n} = 4a _{n-1} - 3a _{n-2} + 4^{n-2}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\)
Umiem zrobić to do czasu wyznaczenia ogólnego rozwiązania rekurencji jednorodnej.
Potem musimy rozpatrzyć czy rozwiązanie ogólne jest p-krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego czy nie, oraz czy funkcja \(\displaystyle{ 4^{n-2}}\) jest wielomianem stopnia p czy nie.
Niestety zielonego pojęcia nie mam, które wybrać.

Wielomian charakterystyczny tej rekurencji będzie taki :
\(\displaystyle{ x^{2} = 4x - 3}\)
\(\displaystyle{ x^{2} - 4x + 3 = 0}\)
którego pierwiastkami są :
\(\displaystyle{ x_{1} = 2}\) i \(\displaystyle{ x_{2} = 3}\)
Więc ogólne rozwiązanie będzie miało postać :
\(\displaystyle{ a_{n} = p \cdot 2^{n} + q \cdot 3^{n}}\)

No i tutaj totalna zwiecha - nie wiem co zrobić. Tutaj trzeba rozpatrzyć, ale nie wiem co to będzie.
Proszę o pomoc,
Pozdrawiam

[Mariusz M]

Nie wygodniej zastosować funkcję tworzącą
Rozwiązanie będzie bardziej przejrzyste

Wyznaczyć ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\), w którym \(\displaystyle{ a_{0} = \frac{10}{3}, a_{1} = \frac{19}{3}}\)
oraz \(\displaystyle{ a_{n} = 4a _{n-1} - 3a _{n-2} + 4^{n-2}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\)

\(\displaystyle{ A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}= \sum_{n=2}^{ \infty }{4a_{n-1}x^{n}} - \sum_{n=2}^{ \infty }{3a_{n-2}x^{n}}+\frac{1}{16}\left( \sum_{n=2}^{ \infty }4^{n}x^n \right) \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}- \frac{19}{3}x- \frac{10}{3}=4x\left( \sum_{n=2}^{ \infty } {a_{n-1}x^{n-1}}\right) -3x^2\left( \sum_{n=2}^{ \infty }a_{n-2}x^{n-2} \right)+ \frac{x^2}{1-4x} \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}- \frac{19}{3}x- \frac{10}{3}=4x\left( \sum_{n=1}^{ \infty } {a_{n}x^{n}}\right) -3x^2\left( \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n} \right)+ \frac{x^2}{1-4x} \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}- \frac{19}{3}x- \frac{10}{3}=4x\left( \sum_{n=0}^{ \infty } {a_{n}x^{n}}-\frac{10}{3}\right) -3x^2\left( \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n} \right)+ \frac{x^2}{1-4x} \\
A\left( x\right)- \frac{19}{3}x- \frac{10}{3}=4xA\left( x\right)-\frac{40}{3}x-3x^2A\left( x\right)+\frac{x^2}{1-4x}\\
A\left( x\right)\left( 1-4x+3x^2\right)=-\frac{21}{3}x+\frac{10}{3}+\frac{x^2}{1-4x}\\
A\left( x\right)=\frac{1}{3} \cdot \frac{\left( -21x+10\right)\left( 1-4x\right)+3x^2 }{\left( 1-x\right)\left( 1-3x\right)\left( 1-4x\right) } \\
A\left( x\right)= \frac{1}{3} \frac{87x^2-61x+10}{\left( 1-x\right)\left( 1-3x\right)\left( 1-4x\right) } \\
\frac{a}{1-x}+\frac{b}{1-3x}+\frac{c}{1-4x}=\frac{1}{3} \frac{87x^2-61x+10}{\left( 1-x\right)\left( 1-3x\right)\left( 1-4x\right) }\\
a\left( 1-3x\right)\left( 1-4x\right) +b\left( 1-x\right)\left( 1-4x\right) +c\left( 1-x\right)\left( 1-3x\right) = \frac{1}{3}\left( 87x^2-61x+10\right)\\
a\left( 1-7x+12x^2\right) +b\left( 1-5x+4x^2\right)+c\left( 1-4x+3x^2\right)=\frac{1}{3}\left( 87x^2-61x+10\right)\\
\begin{cases} a+b+c=\frac{10}{3} \\ -7a-5b-4c=-\frac{61}{3}\\12a+4b+3c=\frac{87}{3} \end{cases}\\
\begin{cases} b+c=\frac{4}{3} \\ -5b-4c=-\frac{19}{3}\\a=2 \end{cases}\\
\begin{cases} c=\frac{1}{3} \\ b=1\\a=2 \end{cases}\\}\)

\(\displaystyle{ A\left( x\right)=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{1-3x}+\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1-4x}\\
A\left( x\right)=2\left( \sum_{n=0}^{ \infty }x^{n} \right) + \sum_{n=0}^{ \infty }{3^nx^n} + \frac{1}{3}\left( \sum_{n=0}^{ \infty }4^nx^n \right) \\
a_{n}=2+3^n+ \frac{1}{3} \cdot 4^n}\)

[marcin1509]

Nie rozumiem funkcji tworzącej, więc chciałem zrobić ją normalnym sposobem.
W zadaniu nie jest podane, jakiej metody mam użyć. Jednakże mam dwa takie zadania - jedno bez sprecyzowanej metody, a drugie z dokładnie określoną (jest napisane "za pomocą funkcji tworzącej"). Metoda funkcji tworzącej jest trudniejsza, zresztą punktacja nie może mylić - za zadanie bez określenia mamy tylko 4 punkty, za zadanie z funkcją tworzącą - 7.

[miodzio1988]

Teraz przewidujesz rozwiązanie szczególne w postaci

\(\displaystyle{ a_{n} =4^{n}}\)

I wstawiasz to do swojej rekurencji