Rozmiesczenie pionów na szachownicy

[Ballazzo]

Na ile sposobów można rozmieścić n pionów na szachownicy 7x9 tak by żadne dwa nie znajdowały się w tym samym wierszu i tej samej kolumnie. a) n=2 b) n=5 c) n=7.

Ja mam takie podejście w a) wybeiram z 63 pól jedno a potem z 48 następne(63-15=48, minus 15 bo tyle jest pól w wierszu i kolumnie pionka który zajmuję już pozycję)
\(\displaystyle{ {63 \choose 1} \cdot {48 \choose 1}}\)

w następnych podpunktach analogicznie, no i właśnie by wychodziło że 7 pinków można rozmeścić według założeń zadania na więcej sposobów niż dwa co wydję mi się źle. Ktoś by potwierdził moje rozumowanie, lub wskazał błąd?

[jutrvy]

To jest niedobrze, bo pionki nie są rozróżnialne, tzn postawisz pierwszego pionka na polu A, drugiego na polu B, a potem pierwszego na B i drugiego na A - ta sama konfiguracja liczona dwa razy.

[Ballazzo]

Rozumiem, to jak zrobić to dobrze myślałem że użycie kombinacji wystarczy by załatwić sprawę z rozróżnialnością.

[jutrvy]

A spróbuj myśleć wierszami i kolumnami, a nie polami - taka wskazówka. Jak nic do jutra wieczór nie wymyślisz, to napiszę rozwiązanie, ok?
Moim zdaniem warto samemu popróbować

[Ballazzo]

Z dziewięciu kolumn wybieram dwie, i z siedmiu wierszy wybieram dwa.
\(\displaystyle{ a)\ {9 \choose 2} \cdot {7 \choose 2} \\
b)\ {9 \choose 5} \cdot {7 \choose 5} \\
c)\ {9 \choose 7}}\)

O to chodzi? Faktycznie wychodzi o wiele mniej.

[jutrvy]

No tak - jest ok. Tak jakbyś patrzył na punkty o współrzędnych całkowitych. Wybierasz dwie współrzędne \(\displaystyle{ x}\) i dwie współrzędne \(\displaystyle{ y}\). Przepraszam, że nie odpisałem wcześniej, ale dopiero teraz wróciłem do domu - ciężki dzień.
Pozdrawiam

[Lafoniz]

Próbując zastosować to rozumowanie dla kwadratowej szachownicy 2x2 oraz 2 pionków otrzymuję za mało możliwości, gdyż \(\displaystyle{ {2\choose 2} \cdot {2\choose 2} = 1}\), tymczasem możliwości są dwie (obie przekątne).

[Ballazzo]

Dla szachownicy 2x2 jest podobnie jak w moim przykłądzie c.Żeby były spełnione wymogi zadania mogę wybrać tylko wiersz(lub kolumnę, ale nie dwa na raz) na dwa sposoby, czyli
\(\displaystyle{ {2\choose 2} \cdot {2\choose 1} = 2}\)
Mam dwa wiersze do wybrania, czyli 2 nad 2, potem został już tylko jeden czyli 2 nad 1.

[kropka+]

Szachownica \(\displaystyle{ w \times k}\) i \(\displaystyle{ n}\) pionków \(\displaystyle{ n \le w \wedge n \le k}\)

Liczba możliwości \(\displaystyle{ {w \choose n} {k \choose n}n!}\)