Ilość rozwiązań równania w liczbach całkowitych nieuj

rafalmistrz · Post autor: **rafalmistrz** » 29 cze 2007, o 18:28

hej mam problem z tym zadaniem, jak mozecie to opiszcie co mam robic i podajcie wynik dzieki

a+b+c+d+e=9

a,b,c,d,e sa liczbami nie ujemnymi. na ile sposobow mozna rozwiazac to rownanie?

Mogę zapytać, gdzie widzisz układ równań? Temat poprawiłam. Kasia

soku11 · Post autor: **soku11** » 29 cze 2007, o 18:31

Ale sa to liczby calkowite czy i tez ulamkowe?? Bo jak ulamkowe to raczej nieskonczenie wiele sposobow...

rafalmistrz · Post autor: **rafalmistrz** » 29 cze 2007, o 18:43

to sa tylko liczby calkowite. zapomnialem napisac.

jovante · Post autor: **jovante** » 29 cze 2007, o 19:04

Łatwo widać, że żadna z tych liczb nie może być wieksza niż 9. Wykorzystując funkcje tworzące wynik odczytamy znajdując wartość współczynnika stojącego przy \(\displaystyle{ x^{9}}\) w wyrażeniu \(\displaystyle{ (\sum_{i=0}^{9}x^{i})^5}\).
Zakładam przy tym, że kolejność składników sumy ma znaczenie, tzn. 0+0+0+0+9 nie jest tym samym co 9+0+0+0+0.

max · Post autor: **max** » 29 cze 2007, o 19:19

A korzystając z wzoru na liczbę kombinacji z powtórzeniami otrzymamy:
\(\displaystyle{ {9 + 5 - 1\choose 9} = {13\choose 9}}\)
(Załóżmy, że A,B,C,D,E są urnami, a w każdej urnie znajduje się co najmniej 9 kul. 9 razy wybieramy jedną z pięciu urn, z której następnie wyjmujemy kulę i przekładamy do jednego z pojemników a,b,c,d,e, przy czym kule z urny A wędrują do pojemnika a, kule z urny B do pojemnika b itd. Nietrudno zauważyć, że liczba wszystkich możliwych końcowych rozkładów kul w pojemnikach a,b,c,d,e jest równa liczbie rozwiązań równania.)