średnie w ineksowanej rodzinie

[a4karo]

Takie fajne zadanko powstało przy okazji pracy nad nierównością Hermite-Hadamarda. Miłej zabawy.

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,\dots,n\}}\). Dla każdego \(\displaystyle{ K\in X}\) określamy pewną liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ a_K}\).
Przypuśćmy, że zachodzi warunek: \(\displaystyle{ K\subset L \Rightarrow a_K\leq a_L}\).
Czy stąd wynika, że dla \(\displaystyle{ 0<k<l\leq n}\) zachodzi

\(\displaystyle{ \frac{1}{\binom{n}{k}}\sum_{\substack{K\in X\\|K|=k}} a_K\leq \frac{1}{\binom{n}{l}}\sum_{\substack{L\in X\\|L|=l}} a_L}\) ?

[norwimaj]

W urnie mamy \(\displaystyle{ n}\) kul. Losujemy \(\displaystyle{ k}\) razy po jednej kuli bez zwracania. Za wylosowany zbiór kul \(\displaystyle{ K}\) otrzymujemy wypłatę \(\displaystyle{ a_K}\). Jaka jest wartość oczekiwana wypłaty?

[a4karo]

Ładny pomysł