Suma ze zmiennymi znakami

[MatXXX]

W książce Proofs that Really Count znajduje się takie równanie:
\(\displaystyle{ \sum_{k\geq0}(-1)^k\frac{n}{n-k}{n-k \choose k} =
\begin{cases}
2 & jesli\ n\equiv0\pmod{6} \\
1 & jesli\ n\equiv1\ lub\ 5\pmod{6}\\
-1 & jesli\ n\equiv2\ lub\ 4\pmod{6}\\
-2 & jesli\ n\equiv3\pmod{6}\\
\end{cases}}\)

Którego nie mogę udowodnić.
Do interpretacji kombinatorycznej trzeba użyć faktu, że \(\displaystyle{ \frac{n}{n-k}{n-k \choose k}}\) to ilość takich pokryć bransoletki (obrót nie jest izomorfizmem) o długości \(\displaystyle{ n}\) za pomocą koralików długości \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ 2}\), że użytych zostało dokładnie \(\displaystyle{ k}\) koralików długości \(\displaystyle{ 2}\).
Jako wyzwanie oznaczono dowód tego przez zasadę włączeń i wyłączeń.

Potrzebuje podpowiedzi jak utworzyć bijekcję pomiędzy zbiorem pokryć z parzystą ilością kostek długości \(\displaystyle{ 2}\) a zbiorem pokryć z nieparzystą ich ilością lub jak użyć tu zasady włączeń wyłączeń.

[Kartezjusz]

Gdzie ten \(\displaystyle{ x}\) miało być \(\displaystyle{ n}\)?

[MatXXX]

Tak, poprawione.

[Kartezjusz]

1. Każdej bransoletce o nieparzystej liczbie korali długości 2 można przyporządkować bransoletkę z wymienionym jednym koralem długości 2 na dwa pojedyńcze.

[MatXXX]

Kartezjusz, OK, tylko który koral zamieniać, aby działanie było odwracalne?