Ile jest całkowitych rozwiązań równania

[marcin1509]

Witajcie !
Mam takie zadanie z matematyki dyskretnej i nie potrafię sobie z nim poradzić :
Ile jest całkowitych rozwiązań równania :
\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} = 60}\)
Słyszałem, że trzeba skorzystać ze wzoru :
\(\displaystyle{ {n+k - 1 \choose k}}\)
Tyle że po skorzystaniu z tego wzoru otrzymuję coś takiego :
\(\displaystyle{ {60 + 6 - 1 \choose 6} = {65 \choose 6}}\)
a wynik tego działania jest kosmiczny (jest 16-cyfrowy jak się nie mylę).
Czy ktoś mógłby mi pomóc to zadanie rozgryźć ? Może ja coś źle robię ?
Pozdrawiam

[Nakahed90]

W całkowitych to ma nieskończoność.

Równanie \(\displaystyle{ x_{1}+...+x_{n}=k}\) ma:
- w \(\displaystyle{ \matbb{Z}_{+}\cup \{0\}}\), \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k}}\) rozwiązań
- w \(\displaystyle{ \matbb{Z}_{+}}\), \(\displaystyle{ {n-1 \choose k-n}}\) rozwiązań

@edit: Drobna poprawka, bo mi się dwa znaczki miejscami zamieniły.

[marcin1509]

No powinienem użyć tego pierwsze podanego przez ciebie wzoru. Dostaję wynik \(\displaystyle{ 82 598 880}\) i to jest do zaakceptowania. A ten drugi - wynik to \(\displaystyle{ 5 006 386}\).
Który jest poprawny do tego zadania ?

update :
Zauważyłem, że do zadania podane są warunki, które całkowicie zmieniają postać rzeczy :
\(\displaystyle{ x_{1} \ge 1 , x_{2} \ge 2 , x_{3} \ge 3 , x_{4} \ge 4 , x_{5} \ge 5 , x_{6} \ge 6}\)

[Nakahed90]

Przejrzyj oznaczenia jakie napisałem (bo cały czas mylisz n z k).

Który jest poprawny do tego zadania ?

Żaden, bo w całkowitych to jest nieskończoność rozwiązań, więc sprawdź jeszcze czy poprawna treść zadania jest.

[marcin1509]

Przeczytaj post powyżej twojego - zaktualizowałem go i podałem warunki z zadania.
k - liczba niewiadomych
n - liczba po równa się.

Sprawdziłem jeszcze raz zadanie i brzmi ono dokładnie tak :
Wyznacz liczbę całkowitych rozwiązań równania \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} = 60}\), gdy \(\displaystyle{ x_{1} \ge 1 , x_{2} \ge 2 , x_{3} \ge 3 , x_{4} \ge 4 , x_{5} \ge 5 , x_{6} \ge 6}\)

[Nakahed90]

Zauważ, że następujące podstawienia:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y_{1}:=x_{1}-1 \\ y_{2}:=x_{2}-2 \\ y_{3}:=x_{3}-3 \\ y_{4}:=x_{4}-4 \\ y_{5}:=x_{5}-5 \\ y_{6}:=x_{6}-6 \end{cases}}\)

Doprowadzą zadanie do jednego z wyżej opisanych przypadków.

[marcin1509]

Jeśli podstawię tak, jak mi pokazałeś to zrównania wyjdzie po równa się 81 :
\(\displaystyle{ x_{1} - 1 + x_{2} - 2 + x_{3} - 3 + x_{4} - 4 + x_{5} - 5 + x_{6} - 6 = 60}\)
\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} = 60 + 21}\)
\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} = 81}\)
I co ? Mam podstawić do symbolu newtona 81 jako n i 6 jako k ?
Jeżeli mamy całkowite no to rozumiem, że będzie to ten pierwszy (bo to i ujemne i dodatnie) a w zadaniu nie mamy podane, czy mamy brać zero czy nie.

[Nakahed90]

Nie rozumiem Twoich rozterek (z tym zerem). Wiemy, że \(\displaystyle{ x_{3}\ge 3}\) to jakie jest ograniczenie na \(\displaystyle{ y_{3}}\)? Zrób analogicznie dla pozostałych zmiennych.

[marcin1509]

No takie są warunki jak \(\displaystyle{ x_{3}}\) ma być większe równe 3 to mamy tak przyjąć.
Nie rozumiem, o co chodzi z tymi ograniczeniami.

[Nakahed90]

Odpowiedz na pytanie jakie Ci zadałem, i zrób tak dla pozostałych zmiennych, wtedy będziesz wiedział, z którym przypadkiem masz do czynienia i z którego wzoru skorzystać.

[marcin1509]

Jedyne, co mi przychodzi na myśl, to jest to, że jeśli mamy podane te warunki które nie są zerowe (chodzi mi o to, że żadne z x-ów nie będzie zerem), to w takim razie musimy skorzystać z tego drugiego wzoru (bez zera).

[Nakahed90]

Dlaczego?
Jeżeli \(\displaystyle{ x_{3} \ge 3}\), to \(\displaystyle{ y_{3}\ge 0}\). Analogicznie pozostałe \(\displaystyle{ y_{1}, y_{2}, y_{4}, y_{5}, y_{6}\ge 0}\). Zatem sprowadziliśmy w/w problem do problemu ilości rozwiązań pewnego równanie w \(\displaystyle{ Z_{+}\cup \{0\}}\).

[marcin1509]

No ok, teraz rozumiem.
Ale - co mam podstawić ?
n to jest to co po równa się - 60.
k jest liczbą tych x-ów (6).
Chyba że się mylę.

[Nakahed90]

Dlaczego n=60? Przecież otrzymałeś nowe równanie i dla niego liczysz ilość rozwiązań.

[marcin1509]

n = 81 (za drugim razem wyszło mi 81, bo przenosząc na drugą stronę zmieniamy znak)
k = 6
tak ?