mam problem z zadaniem
no to do a) moja odpowiedź brzmi \(\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{3} (-1)^i \cdot {3 \choose i} \cdot (3!)^i \cdot (9-2i)!}\)Ile jest sposobów usadowienia rzędem 3 Anglików, 3 Francuzów i 3 Turków, aby: a)żadna trójka, b) żadna dwójka rodaków nie siedziała obok siebie? (wsk. do b) policzyć na ile sposobów może siedzieć przynajmniej jedna dwójka, przynajmniej dwie itd.)
na przykład
dla \(\displaystyle{ i = 0}\) mamy \(\displaystyle{ 9!}\) czyli ilość możliwości usadzenia wszystkich osób,
dla \(\displaystyle{ i = 1}\) mamy \(\displaystyle{ {3 \choose 1}}\) wybieramy trójkę która będzie siedziała obok siebie, \(\displaystyle{ 3!}\) permutujemy tę trojkę między sobą,\(\displaystyle{ 7!}\) usadzamy pozostałe osoby (włączając w to trójkę którą permutowaliśmy)
natomiast b)
(uznaję że gdy mamy 3 osoby siedzące obok siebie ABC to istnieją pary AB i BC)
\(\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{6} (-1)^i \cdot {3+i-1 \choose i} \cdot {3 \choose 2}^i \cdot (2!)^i \cdot (9-i)!}\)
dla \(\displaystyle{ i = 0}\) mamy \(\displaystyle{ 9!}\) ilość usadzenia 9 osób
dla \(\displaystyle{ i = 2}\) mamy \(\displaystyle{ {3 + 2 - 1 \choose 2}}\) wybieramy 2 pary z trzech trójek osób \(\displaystyle{ {3 \choose 2} ^2}\) wybieramy dwie pary osób z trójek które wybraliśmy \(\displaystyle{ (2!)^2}\) permutujemy te dwie pary \(\displaystyle{ 7!}\) sadzamy pozostałe osoby,
ale dla \(\displaystyle{ i = 3}\) wydaje mi się że ten wzór już nie działa, bo gdy usadzimy 3 osoby ABC to istnieją tylko 2 pary, a nie trzy, a z \(\displaystyle{ {3+3-1 \choose 3}}\) może wyjść że 3 razy wybraliśmy tą samą trójkę, czyli będziemy z tej trójki wybierać 3 pary
