Partyjka przy zegarach

[mol_ksiazkowy]

Jacyć szachiści rozgrywają sobie partię, po tym jak obydwaj wykonali po 40 posunięć każdy, to łączny czas ich myślenia nad zrobionymi przez nich ruchami był równy 150 minut. Udowodnić że istniała taka chwila w partii, w której różnica czasów na ich zegarach była: 1 minuta i 51 sekund.
Dodatkowe pytanie: Co jeśli 1m 51 s. zamienić na 2 minuty ?

[MatXXX]

Niech pierwszy szachista wykona pierwszy ruch w czasie \(\displaystyle{ 57s}\), a wszystkie następne ruchy niech trwają \(\displaystyle{ 114s}\). Wykonane wtedy zostanie \(\displaystyle{ 1}\) ruch \(\displaystyle{ 57s}\) i \(\displaystyle{ 79}\) ruchów \(\displaystyle{ 114s}\), razem dając \(\displaystyle{ 9063s = 151 min 3 s}\), a różnica czasu na zegarach nigdy nie będzie większa niż \(\displaystyle{ 57s}\).
W takim razie można podać taki kontrprzykład: pierwszy ruch pierwszego \(\displaystyle{ 57s}\), wszystkie następne oprócz ostatniego ruchu drugiego \(\displaystyle{ 114s}\), ostatni ruch drugiego \(\displaystyle{ 51s=114s-63s}\). Wtedy czas wszysktich ruchów sumuje się do \(\displaystyle{ 9000s=150min}\), a różnica czasów na zegarach nie przekracza \(\displaystyle{ 57s}\). Gdyby wykonali oni 40 ruchów w sumie, dałoby się udowodnić tezę z zadania w analogiczny sposób.