Dwumian Newtona

[moss2]

\(\displaystyle{ {n \choose 0}+ {n \choose 1}+...+ {n \choose n}=2^{n}}\)

\(\displaystyle{ (a+b)^{n}={n \choose 0}a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}b+...+{n \choose k}a^{n-k}b^{k}+...+{n \choose n-1}ab^{n-1}+{n \choose n}b^{n}}\)

Dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość:

Wykorzystując podaną równość, oblicz:
a) liczbę wszystkich podzbiorów zbioru pięcioelementowego
b) liczbę wszystkich niepustych podzbiorów zbioru sześcioelementowego

[kerajs]

Każdy element może do podzbioru należeć lub nie należeć.
a) \(\displaystyle{ 2 ^{5}}\)
b) \(\displaystyle{ 2 ^{6}-1}\)

[moss2]

Nie rozumiem, mógłby ktoś wytłumaczyć?-- 9 lip 2015, o 19:10 --Da się to jakoś obliczyć, czy nie?

[SidCom]

Z czym jest problem: z podzbiorami, kombinacjami ? kerajs przecież obliczył...

[moss2]

Jeśli dobrze rozumiem, to za niewiadomą "n" podstawiamy cyfrę 5?

\(\displaystyle{ {5 \choose 0} + {5 \choose 1}+ {5 \choose 2} + {5 \choose 3} + {5 \choose 4} + {5 \choose 5}=2^{5}}\)

\(\displaystyle{ 1+5+10+10+5+1=32}\)

\(\displaystyle{ 2\cdot1+2\cdot5+2\cdot10=32}\)

\(\displaystyle{ 32=32}\)

[gardner]

Tak dobrze, a jeśli chodzi o niepuste to po prostu odejmujesz zbiór pusty (jedyny w zbiorze) i po sprawie

[moss2]

\(\displaystyle{ {n \choose 0}={5 \choose 0}}\)

Ze zbioru n-elementowego wybieramy 0 elementów, więc jest to zbiór pusty, bo nic z niego nie wybieramy.
Wiadomo, że \(\displaystyle{ {n \choose 0} =1}\), dlatego na końcu odejmujemy 1.

\(\displaystyle{ {6 \choose 0} + {6 \choose 1} + {6 \choose 2} + {6 \choose 3} + {6 \choose 4} +...+ {6 \choose 6} =2^{6}-1= {6\choose 1} +...+ {6 \choose 6}}\)

[kropka+]

\(\displaystyle{ {n \choose 1}+{n \choose 2}+{n \choose 3}+{n \choose 4}+{n \choose 5}+...+{n \choose n}=2^{n}}\)

\(\displaystyle{ {6 \choose 1}+{6 \choose 2}+{6 \choose 3}+{6 \choose 4}+{6 \choose 5}+{6 \choose 6}=2^{6}=...}\)

Nie, po prawej jest \(\displaystyle{ 2 ^{n}-1}\) i \(\displaystyle{ 2 ^{6}-1}\)