bardzo prosiłbym o sprawdzeniem, czy mój tok rozumowania jest poprawny, jeśli nie - proszę o jakąś wskazówkę
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ {n \choose k}=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\ldots p_{k}^{a_{k}}}\) jest kanonicznym rozkładem na czynniki pierwsze, to dla każdego \(\displaystyle{ 1 \le i \le k}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ p_{i}^{a_{i}} \le n}\).
Więc: wiadomo z twierdzenia Legendre'a, że w rozkładzie \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) na czynniki pierwsze dana liczba \(\displaystyle{ p}\) występuje dokładnie \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}\bigg(\left \lfloor{\frac{n}{p^k}}\right \rfloor - \left \lfloor{\frac{k}{p^k}}\right \rfloor -\left \lfloor{\frac{n-k}{p^k}}\right \rfloor\bigg)}\) razy. Zakładam, że istnieje takie \(\displaystyle{ p}\), że \(\displaystyle{ p_{i}^{a_{i}}>n}\). Zauważam, że wówczas \(\displaystyle{ \left \lfloor{\frac{n}{p^k}}\right \rfloor=0, \left \lfloor{\frac{k}{p^k}}\right \rfloor =0}\) i \(\displaystyle{ \left \lfloor{\frac{n-k}{p^k}}\right \rfloor=0}\), w tym przypadku \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}\bigg(\left \lfloor{\frac{n}{p^k}}\right \rfloor - \left \lfloor{\frac{k}{p^k}}\right \rfloor -\left \lfloor{\frac{n-k}{p^k}}\right \rfloor\bigg)=0}\), zatem \(\displaystyle{ p}\) nie występuje w rozkładzie \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) na czynniki pierwsze, co jest sprzeczne z założeniem i dowodzi poprawności twierdzenia. To tyle
Byłbym wdzięczny za jakieś komentarze.
