Postać jawna sumy

[StokrotkaG]

Wyznaczyć postać jawną sumy
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (4 \cdot (-2)^k \cdot k-1)}\)

Proszę o pomoc -- 6 lip 2015, o 01:17 --

[jutrvy]

Rozbij na dwie sumy: \(\displaystyle{ 4\sum_{k=1}^nk(-2)^k + \sum_{k=1}^n(-1)}\). Wtedy tą pierwszą można policzyć tak:

Niech \(\displaystyle{ F(x) = \sum_{k=1}^n k x^k = x\sum_{k=1}^n kx^{k-1} =
x \left( \sum_{k=1}^nx^k \right)'}\)

Policz to do końca (skorzystaj ze wzoru na sumę \(\displaystyle{ n}\)-pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego), wstaw \(\displaystyle{ x = -2}\) i masz pierwszą sumę z zadania, druga jest trywialna.

[Mariusz M]

Można też z sumowania przez części skorzystać

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (4 \cdot (-2)^k \cdot k-1)\\
=\sum_{k=1}^{n} (4k \cdot (-2)^k)-\sum_{k=1}^{n}{1}\\}\)

[jutrvy]

mariuszm, zgubiłeś gdzieś \(\displaystyle{ k}\). Albo ja czegoś nie rozumiem.

[Mariusz M]

Tak , czynnik 4k różnicujemy , a czynnik \(\displaystyle{ \left( -2\right)^{k}}\) sumujemy
Chciałem też przez te części policzyć ale gdzieś popełniłem błąd

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (4 \cdot (-2)^k \cdot k-1)\\
=\sum_{k=1}^{n} (4k \cdot (-2)^k)-\sum_{k=1}^{n}{1}\\}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (4k \cdot (-2)^k)=\\
\sum{4x\left( -2\right)^{x} \delta x}=- \frac{4}{3}x2^{x}-\left( - \frac{4}{3} \right) \left( \sum{\left( -2\right)^{x+1} \delta x} \right) \\
\sum{4x\left( -2\right)^{x} \delta x}=- \frac{4}{3}x2^{x}- \frac{8}{3} \left( \sum{\left(-2\right)^{x}\delta x} \right)\\
\sum{4x\left( -2\right)^{x} \delta x}=- \frac{4}{3}x2^{x}+\frac{8}{9}\left(-2\right)^{x}\\
\sum{4x\left( -2\right)^{x} \delta x}=- \frac{4}{9}\left( 3x-2\right)\left( -2\right) ^{x} \\
\sum_{0}^{n+1}{4x\left( -2\right)^{x} \delta x}=- \frac{4}{9}\left( 3n+1\right)\left( -2\right) ^{n+1}-\left( \frac{8}{9} \right) \\
= \frac{8}{9}\left( 3n+1\right)\left( -2\right) ^{n}-\frac{8}{9} \\}\)

Cała suma będzie wynosić

\(\displaystyle{ \frac{8}{9}\left( 3n+1\right)\left( -2\right) ^{n}-n-\frac{8}{9}}\)

[StokrotkaG]

czy mógłbyś wyjaśnić przejścia w ostatnim poście bądź dokładniej jeszcze rozpisać?

[jutrvy]

Tutaj wszystko masz, to, co zrobił mariuszm, to takie jakby dyskretne całkowanie przez części