Czy istnieje jakiś "sposób" na zadania typu "uprość wyrażenie / znajdź zwartą postać wzoru" ( i tutaj jakaś suma , np \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}= k \cdot 3k ?}\) )
Rozwiązanie tego przykładu znam, ale po przerobieniu kilku zadań nadal się gubię − a konkretnie nie wiem jak zacząć. Raz różniczkujemy wzór, czasem nawet podwójnie, innym razem używamy szczegółowych wzorów na sumę, których wcześniej nie widziałem, i tak dalej.
Czy istnieje schemat działania w przypadku takich zadań, czy pozostaje mi jedynie różniczkowanie na ślepo, albo podstawianie kolejnych wzorów, bo może akurat ten pasuje?
sumowanie - zwarta postać wzoru
sumowanie - zwarta postać wzoru
Ostatnio zmieniony 1 lip 2015, o 10:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Temat umieszczony w złym dziale.
sumowanie - zwarta postać wzoru
Przepraszam, to błąd. Pomyliłem się w zapisie LaTeX'a , chodzi o \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k \cdot 3 ^{k}}\)
Ostatnio zmieniony 1 lip 2015, o 10:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
sumowanie - zwarta postać wzoru
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}kx^{k}=x \sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}=x \sum_{k=1}^{n} (x^{k})'= x \cdot \frac{d}{dx}\left( \sum_{k=0}^{n}x^{k} \right)}\)
no i trzeba by policzyć \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}x^{k} \right}\) ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, a potem zróżniczkować otrzymaną zwartą postać, wstawić \(\displaystyle{ x=3}\) i tyle.
no i trzeba by policzyć \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}x^{k} \right}\) ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, a potem zróżniczkować otrzymaną zwartą postać, wstawić \(\displaystyle{ x=3}\) i tyle.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6903
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
sumowanie - zwarta postać wzoru
Rachunek różnicowy sumowanie przez części
\(\displaystyle{ \Delta a^{x}= a^{x+1}-a^{x}=a^{x}\left( a-1\right)\\
\sum{a^{x}}=\frac{a^x}{a-1} \\}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}= k \cdot 3^k ?\\
\sum{x3^{x}}=x \cdot \frac{3^x}{2}- \sum{1 \cdot \frac{3^{x+1}}{2} } \\
\sum{x3^{x}}=x \cdot \frac{3^x}{2}-\frac{3}{2} \sum{3^{x}}\\
\sum{x3^{x}}=x \cdot \frac{3^x}{2}-\frac{3}{2} \cdot \frac{3^{x}}{2} \\
\sum{x3^{x}}= \frac{1}{4}\left( 2x-3\right)3^{x} \\
\sum_{0}^{n+1}x3^{x}= \frac{1}{4}\left( 2n-1\right)3^{n+1}-\left( - \frac{3}{4} \right) \\
\sum_{k=0}^{n}= k \cdot 3^k = \frac{3}{4}\left( 2n-1\right)3^{n}+ \frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ \Delta a^{x}= a^{x+1}-a^{x}=a^{x}\left( a-1\right)\\
\sum{a^{x}}=\frac{a^x}{a-1} \\}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}= k \cdot 3^k ?\\
\sum{x3^{x}}=x \cdot \frac{3^x}{2}- \sum{1 \cdot \frac{3^{x+1}}{2} } \\
\sum{x3^{x}}=x \cdot \frac{3^x}{2}-\frac{3}{2} \sum{3^{x}}\\
\sum{x3^{x}}=x \cdot \frac{3^x}{2}-\frac{3}{2} \cdot \frac{3^{x}}{2} \\
\sum{x3^{x}}= \frac{1}{4}\left( 2x-3\right)3^{x} \\
\sum_{0}^{n+1}x3^{x}= \frac{1}{4}\left( 2n-1\right)3^{n+1}-\left( - \frac{3}{4} \right) \\
\sum_{k=0}^{n}= k \cdot 3^k = \frac{3}{4}\left( 2n-1\right)3^{n}+ \frac{3}{4}}\)