Ile jest liczb spełniajacych warunek

[robertos18]

Ile jest liczb całkowitoliczbowych rozwiazan rownania \(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}+x _{3}+x _{4} = 40}\)spełniajacych warunek \(\displaystyle{ 0 \le x _{j} \le 15}\) j=\(\displaystyle{ 1,2,3,4}\)

Prosze o sprawdzenie:

\(\displaystyle{ R}\)-zbior wszystkich rozwiaz podanego rownania \(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}+x _{3}+x _{4} = 40}\)
\(\displaystyle{ \left| R\right|}\) - moc tego zbioru

\(\displaystyle{ R = {40+4-1 \choose 4-1} = {37 \choose 3}}\)

\(\displaystyle{ R _{j}}\) gdzie \(\displaystyle{ j=1,2,3,4}\) - zbior rozwiazan \(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}+x _{3}+x _{4} = 40}\) takich, ze \(\displaystyle{ x _{j} \ge 16}\)

\(\displaystyle{ R _{j} = {40-16+4-1 \choose 4-1} = {27 \choose 3}}\)

Obliczanie przekrojow:

\(\displaystyle{ \left| R _{j} \cap R _{i} \right| = {40-16-16+4-1 \choose 4-1} = {11 \choose 3}}\)
\(\displaystyle{ \left| R _{j} \cap R _{i} \cap R _{k} \right| = {40-16-16-16+4-1 \choose 4-1} = \emptyset}\)

\(\displaystyle{ \left| R\right| - 4 \cdot \left| R _{j} \right| + {4 \choose 2} \cdot \left| R _{j} \cap R _{i} \right| = {37 \choose 3} - 4 \cdot {27 \choose 3} + {4 \choose 2} \cdot {11 \choose 3}}\)

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ {37\choose3} - 4\cdot{27\choose3} + {4\choose2}\cdot{11\choose3}={\red{-2940}}}\)

[robertos18]

Błąd popełnilem obliczeniowy powinno byc:

\(\displaystyle{ {43\choose3} - 4\cdot{27\choose3} + {4\choose2}\cdot{11\choose3}}\)

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ {43\choose3} - 4\cdot{27\choose3} + {4\choose2}\cdot{11\choose3}=1631}\)

Zaraz sprawdzę, czy jest dobrze.

[kropka+]

\(\displaystyle{ R = {40+4-1 \choose 4-1} = {37 \choose 3}}\)

Błąd rachunkowy.
Poza tym dlaczego rozważasz tylko liczby \(\displaystyle{ 16}\)? A jak będzie np. \(\displaystyle{ 0+0+19+21}\)?

[robertos18]

rozwazam te ktore nie spelniania warunkow zadania , tak mnie uczyli ...

[SlotaWoj]

Zgadza się! Ma być 1631.

Sprawdziłem pisząc program w Pascalu, który sprawdził wszystkie \(\displaystyle{ 16^4}\) całkowitoliczbowe rozwiązania i policzył spełniające warunki zadania.

Żeby inni mieli pożytek z Twoich dokonań, wskazane byłoby abyś jeszcze raz przedstawił wraz z komentarzem swoje wyprowadzenie.

[robertos18]

Ile jest liczb całkowitoliczbowych rozwiazan rownania \(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}+x _{3}+x _{4} = 40}\) spełniajacych warunek \(\displaystyle{ 0 \le x _{j} \le 15}\) j = \(\displaystyle{ 1,2,3,4}\)

Moc zbioru \(\displaystyle{ R}\) wszystkich całkowitoliczbowych rozwiązań podanego równania \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4=40}\) wynika z Zasady Bijekcji przedstawionej w

Kod: Zaznacz cały

http://www.muzg.uz.zgora.pl/pliki/md.pdf

, rozdział 1.2, (Problem 12: kolorowanie kul) i wynosi:

\(\displaystyle{ |R|={\mbox{wynik równania + ilość niewiadomych – 1} \choose \mbox{ilość niewiadomych – 1}}}\)

Będziemy liczyć przez dopełnienie zbioru.
\(\displaystyle{ \left| R\right|}\)-zbior wszystkich rozwiaz podanego rownania \(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}+x _{3}+x _{4} = 40}\)

\(\displaystyle{ \left| R\right|}\) - moc tego zbioru
Wzór ogólny: \(\displaystyle{ \left| R\right| = {wynik\ rownania+ilosc \ niewiadomych -1 \choose ilosc \ niewiadomych-1}}\)

W tym przykładzie będzie to więc: \(\displaystyle{ R = {40+4-1 \choose 4-1} = {43 \choose 3}}\)

\(\displaystyle{ R _{j}}\), gdzie \(\displaystyle{ j=1,2,3,4}\)– zbiór rozwiązań \(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}+x _{3}+x _{4} = 40}\) takich, że \(\displaystyle{ x _{j} \ge 16(ozn.(*))}\)(inaczej mówiąc – zbiór rozwiązań „niesprzyjających” – tych, które nie spełniają warunków zadania)

Wzór ogólny:\(\displaystyle{ R _{j}={wynik \ rownania - liczba(*)+ilosc \ niewiadomych -1 \choose ilosc \ niewiadomych-1}}\)
\(\displaystyle{ R _{j} = {40-16+4-1 \choose 4-1} = {27 \choose 3}}\)
Kolejnym krokiem jest policzenie przekrojów dwuelementowych, trzyelementowych itd. (o ile mają sens).
\(\displaystyle{ \left| R _{j} \cap R _{i} \right| ={wynik \ rownania - liczba(*) _{j} -liczba(*) _{i} +ilosc \ niewiadomych -1 \choose ilosc \ niewiadomych-1}}\)

\(\displaystyle{ \left| R _{j} \cap R _{i} \right| = {40-16-16+4-1 \choose 4-1} = {11 \choose 3}}\)

\(\displaystyle{ \left| R _{j} \cap R _{i} \cap R _{k} \right| = {40-16-16-16+4-1 \choose 4-1} = \emptyset}\), ponieważ na górze otrzymaliśmy liczbę ujemną

Teraz pozostaje nam zliczyć otrzymane wyniki.
\(\displaystyle{ \left| R\right| - 4 \cdot \left| R _{j} \right| + {4 \choose 2} \cdot \left| R _{j} \cap R _{i} \right| = {43 \choose 3} - 4 \cdot {27 \choose 3} + {4 \choose 2} \cdot {11 \choose 3}= 1631}\)

* \(\displaystyle{ {4 \choose 2}}\) przekroje dwuelementowe ze zbioru czteroelementowego

Jak są pomyłki prosze o poprawe..

[kropka+]

Dalej nie wiem, dlaczego od wszystkich \(\displaystyle{ {43 \choose 3}}\) rozwiązań ( \(\displaystyle{ 16 ^{4} \ ?}\) ) odejmujecie tylko te, w których występuje jedna lub dwie liczby \(\displaystyle{ 16}\). Napisałam to już wcześniej.

[SlotaWoj]

Komentarz nie jest wystarczający!
Diabeł jak zwykle jest ukryty w szczegółach.
Ja np. nie wiem dlaczego \(\displaystyle{ {\mbox{wynik równania + ilość niewiadomych – 1} \choose \mbox{ilość niewiadomych – 1}}}\) jest równe liczbie rozwiązań całkowitoliczbowych bez ograniczeń.
Kropka+, która (jak się kiedyś przekonałem) jest „oblatana”, też nie wszystko rozumie.

@Kropka+
Rozwiązania mają spełniać warunek: \(\displaystyle{ 0\le x_j\le15;\ j\in\{1;2;3;4}}\) .

[robertos18]

to moze pan napisze dlaczego

[SlotaWoj]

Pisałem, że nie wiem dlaczego, a chciałby wiedzieć (czytaj: też się chcę czegoś nauczyć).
Próbowałem coś wymyślić dla trzech zmiennych (\(\displaystyle{ x+y+z=s}\) jest równaniem płaszczyzny i mogę ją sobie wyobrazić), ale jeszcze bez efektów – byłem rozpraszany.

[robertos18]

Bo jest taki wzor na liczbe wszystkich rozwiazan rownania

[SlotaWoj]

Jeśli możesz, to odszukaj te informacje i uzupełnij komentarz, albo chociaż podaj link do jakiegoś wyjaśnienia.
Uzupełnienie komentarz będzie mile widziane.

[robertos18]

Kod: Zaznacz cały

http://www.muzg.uz.zgora.pl/pliki/md.pdf

rozdział 1.2